Номер 1.104, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.104. Вычислите определенный интеграл:

1) $\int_1^2 x\left(\frac{2}{x} + \frac{x}{2}\right)dx;$

2) $\int_1^2 \frac{x^6 + 8x^4 + x}{x}dx;$

3) $\int_{-1}^1 (x+1)^2 (2x+3)dx;$

4) $\int_6^8 (x-7)^7 dx.$

1) Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{2} x \left( \frac{2}{x} + \frac{x}{2} \right) dx $ сначала упростим подынтегральное выражение.

Раскроем скобки: $ x \left( \frac{2}{x} + \frac{x}{2} \right) = x \cdot \frac{2}{x} + x \cdot \frac{x}{2} = 2 + \frac{x^2}{2} $.

Теперь интеграл имеет вид: $ \int_{1}^{2} \left( 2 + \frac{x^2}{2} \right) dx $.

Найдем первообразную, используя таблицу интегралов: $ \int (2 + \frac{x^2}{2}) dx = 2x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} = 2x + \frac{x^3}{6} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $:

$ \int_{1}^{2} \left( 2 + \frac{x^2}{2} \right) dx = \left[ 2x + \frac{x^3}{6} \right]_{1}^{2} = \left( 2 \cdot 2 + \frac{2^3}{6} \right) - \left( 2 \cdot 1 + \frac{1^3}{6} \right) $

$ = \left( 4 + \frac{8}{6} \right) - \left( 2 + \frac{1}{6} \right) = 4 + \frac{4}{3} - 2 - \frac{1}{6} = 2 + \frac{8}{6} - \frac{1}{6} = 2 + \frac{7}{6} = \frac{12}{6} + \frac{7}{6} = \frac{19}{6} $.

Ответ: $ \frac{19}{6} $.

2) Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{2} \frac{x^6 + 8x^4 + x}{x} dx $ упростим подынтегральное выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель.

$ \frac{x^6 + 8x^4 + x}{x} = \frac{x^6}{x} + \frac{8x^4}{x} + \frac{x}{x} = x^5 + 8x^3 + 1 $.

Теперь интегрируем полученный многочлен: $ \int_{1}^{2} (x^5 + 8x^3 + 1) dx $.

Найдем первообразную: $ \int (x^5 + 8x^3 + 1) dx = \frac{x^6}{6} + 8 \frac{x^4}{4} + x = \frac{x^6}{6} + 2x^4 + x $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \left[ \frac{x^6}{6} + 2x^4 + x \right]_{1}^{2} = \left( \frac{2^6}{6} + 2 \cdot 2^4 + 2 \right) - \left( \frac{1^6}{6} + 2 \cdot 1^4 + 1 \right) $

$ = \left( \frac{64}{6} + 2 \cdot 16 + 2 \right) - \left( \frac{1}{6} + 2 + 1 \right) = \left( \frac{32}{3} + 32 + 2 \right) - \left( \frac{1}{6} + 3 \right) $

$ = \frac{32}{3} + 34 - \frac{1}{6} - 3 = \frac{64}{6} - \frac{1}{6} + 31 = \frac{63}{6} + 31 = \frac{21}{2} + 31 = 10.5 + 31 = 41.5 $.

В виде дроби: $ \frac{21}{2} + \frac{62}{2} = \frac{83}{2} $.

Ответ: $ \frac{83}{2} $.

3) Для вычисления интеграла $ \int_{-1}^{1} (x+1)^2 (2x+3) dx $ воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $ u = x+1 $. Тогда $ x = u-1 $ и $ du = dx $.

Найдем новые пределы интегрирования:

при $ x = -1 $, $ u = -1+1=0 $;

при $ x = 1 $, $ u = 1+1=2 $.

Подставим новую переменную в подынтегральное выражение:

$ (x+1)^2 (2x+3) = u^2 (2(u-1)+3) = u^2 (2u-2+3) = u^2 (2u+1) = 2u^3 + u^2 $.

Теперь интеграл выглядит так: $ \int_{0}^{2} (2u^3 + u^2) du $.

Найдем первообразную: $ \int (2u^3 + u^2) du = 2\frac{u^4}{4} + \frac{u^3}{3} = \frac{u^4}{2} + \frac{u^3}{3} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \left[ \frac{u^4}{2} + \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^4}{2} + \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{0^4}{2} + \frac{0^3}{3} \right) $

$ = \left( \frac{16}{2} + \frac{8}{3} \right) - 0 = 8 + \frac{8}{3} = \frac{24}{3} + \frac{8}{3} = \frac{32}{3} $.

Ответ: $ \frac{32}{3} $.

4) Для вычисления интеграла $ \int_{6}^{8} (x-7)^7 dx $ применим метод замены переменной.

Пусть $ u = x-7 $. Тогда $ du = dx $.

Найдем новые пределы интегрирования:

при $ x = 6 $, $ u = 6-7=-1 $;

при $ x = 8 $, $ u = 8-7=1 $.

Интеграл преобразуется к виду: $ \int_{-1}^{1} u^7 du $.

Найдем первообразную: $ \int u^7 du = \frac{u^8}{8} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \left[ \frac{u^8}{8} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^8}{8} - \frac{(-1)^8}{8} = \frac{1}{8} - \frac{1}{8} = 0 $.

Также можно заметить, что подынтегральная функция $ f(u) = u^7 $ является нечетной, так как $ f(-u) = (-u)^7 = -u^7 = -f(u) $. Интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу (от -a до a) всегда равен нулю.

Ответ: $ 0 $.