Номер 1.103, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.103. Изобразите фигуру, ограниченную указанными линиями, и вычислите ее площадь:

1) $\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2 - x^2 \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = 5 + 3x - 2x^2 \\ y = x + 1 \end{cases}$

3) $\begin{cases} y = x^2 + 4x \\ y = x + 4 \end{cases}$

1)

Фигура ограничена линиями $y = x^2$ и $y = 2 - x^2$.

График функции $y = x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат (0,0). График функции $y = 2 - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0,2). Фигура, ограниченная этими линиями, симметрична относительно оси Oy.

Для вычисления площади фигуры необходимо найти точки пересечения графиков, которые определят пределы интегрирования. Приравняем правые части уравнений:

$x^2 = 2 - x^2$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

$x_1 = -1$, $x_2 = 1$

На интервале $[-1, 1]$ график параболы $y = 2 - x^2$ находится выше графика параболы $y = x^2$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций в найденных пределах:

$S = \int_{-1}^{1} ((2 - x^2) - x^2) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$\int (2 - 2x^2) dx = 2x - \frac{2x^3}{3} + C$

$S = \left[ 2x - \frac{2x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left(2(1) - \frac{2(1)^3}{3}\right) - \left(2(-1) - \frac{2(-1)^3}{3}\right)$

$S = \left(2 - \frac{2}{3}\right) - \left(-2 + \frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3} - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

Ответ: $S = \frac{8}{3}$ кв. ед.

2)

Фигура ограничена линиями $y = 5 + 3x - 2x^2$ и $y = x + 1$.

График функции $y = 5 + 3x - 2x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. График функции $y = x + 1$ — прямая линия.

Найдем точки пересечения графиков, чтобы определить пределы интегрирования:

$5 + 3x - 2x^2 = x + 1$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

Используя теорему Виета или решив квадратное уравнение, находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$.

На интервале $[-1, 2]$ проверим, какой из графиков находится выше. Возьмем точку $x=0$ из этого интервала:

Для параболы: $y(0) = 5 + 3(0) - 2(0)^2 = 5$

Для прямой: $y(0) = 0 + 1 = 1$

Так как $5 > 1$, на интервале $[-1, 2]$ парабола $y = 5 + 3x - 2x^2$ находится выше прямой $y = x + 1$.

Площадь фигуры вычисляется по формуле:

$S = \int_{-1}^{2} ((5 + 3x - 2x^2) - (x + 1)) dx = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$\int (-2x^2 + 2x + 4) dx = -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x + C$

$S = \left[ -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2}$

$S = \left(-\frac{2(2)^3}{3} + (2)^2 + 4(2)\right) - \left(-\frac{2(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 4(-1)\right)$

$S = \left(-\frac{16}{3} + 4 + 8\right) - \left(\frac{2}{3} + 1 - 4\right) = \left(-\frac{16}{3} + 12\right) - \left(\frac{2}{3} - 3\right)$

$S = \left(\frac{-16+36}{3}\right) - \left(\frac{2-9}{3}\right) = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9$

Ответ: $S = 9$ кв. ед.

3)

Фигура ограничена линиями $y = x^2 + 4x$ и $y = x + 4$.

График функции $y = x^2 + 4x$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. График функции $y = x + 4$ — прямая линия.

Найдем точки пересечения графиков:

$x^2 + 4x = x + 4$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -4$, $x_2 = 1$.

На интервале $[-4, 1]$ определим, какой график лежит выше. Возьмем точку $x=0$:

Для параболы: $y(0) = 0^2 + 4(0) = 0$

Для прямой: $y(0) = 0 + 4 = 4$

Так как $4 > 0$, на интервале $[-4, 1]$ прямая $y = x + 4$ находится выше параболы $y = x^2 + 4x$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-4}^{1} ((x + 4) - (x^2 + 4x)) dx = \int_{-4}^{1} (-x^2 - 3x + 4) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$\int (-x^2 - 3x + 4) dx = -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 4x + C$

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 4x \right]_{-4}^{1}$

$S = \left(-\frac{1^3}{3} - \frac{3(1)^2}{2} + 4(1)\right) - \left(-\frac{(-4)^3}{3} - \frac{3(-4)^2}{2} + 4(-4)\right)$

$S = \left(-\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4\right) - \left(-\frac{-64}{3} - \frac{3(16)}{2} - 16\right)$

$S = \left(-\frac{2}{6} - \frac{9}{6} + \frac{24}{6}\right) - \left(\frac{64}{3} - 24 - 16\right) = \frac{13}{6} - \left(\frac{64}{3} - 40\right)$

$S = \frac{13}{6} - \left(\frac{64}{3} - \frac{120}{3}\right) = \frac{13}{6} - \left(-\frac{56}{3}\right) = \frac{13}{6} + \frac{56}{3} = \frac{13}{6} + \frac{112}{6} = \frac{125}{6}$

Ответ: $S = \frac{125}{6}$ кв. ед.