Номер 1.109, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.109. Разбив отрезок интегрирования подходящим образом, найдите следующий интеграл:

1) $\int_0^3 f(x)dx$, если $f(x) = \begin{cases} 4, & 0 \le x < 2, \\ 1, & 2 \le x \le 3; \end{cases}$

2) $\int_{-2}^2 f(x)dx$, если $f(x) = \begin{cases} x^2, & -2 \le x < -1, \\ 4, & -1 \le x < 1, \\ x^2, & 1 \le x \le 2. \end{cases}$

1)

Для вычисления интеграла $\int_{0}^{3} f(x)dx$ необходимо разбить отрезок интегрирования $[0, 3]$ на части в соответствии с определением кусочно-заданной функции $f(x)$. Точка, в которой меняется определение функции, это $x=2$.

Используя свойство аддитивности определенного интеграла, разобьем его на два интеграла:

$\int_{0}^{3} f(x)dx = \int_{0}^{2} f(x)dx + \int_{2}^{3} f(x)dx$

На отрезке $[0, 2)$ функция $f(x) = 4$. На отрезке $[2, 3]$ функция $f(x) = 1$. Подставим эти значения в соответствующие интегралы:

$\int_{0}^{3} f(x)dx = \int_{0}^{2} 4 dx + \int_{2}^{3} 1 dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

$\int_{0}^{2} 4 dx = [4x]_{0}^{2} = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 0 = 8 - 0 = 8$

$\int_{2}^{3} 1 dx = [x]_{2}^{3} = 3 - 2 = 1$

Теперь сложим полученные значения, чтобы найти исходный интеграл:

$\int_{0}^{3} f(x)dx = 8 + 1 = 9$

Ответ: 9

2)

Для вычисления интеграла $\int_{-2}^{2} f(x)dx$ необходимо разбить отрезок интегрирования $[-2, 2]$ в точках $x=-1$ и $x=1$, так как в этих точках меняется аналитическое выражение функции $f(x)$.

Согласно свойству аддитивности определенного интеграла, получаем:

$\int_{-2}^{2} f(x)dx = \int_{-2}^{-1} f(x)dx + \int_{-1}^{1} f(x)dx + \int_{1}^{2} f(x)dx$

Подставим соответствующие выражения для функции $f(x)$ на каждом из отрезков. На отрезке $[-2, -1)$ имеем $f(x) = x^2$, на отрезке $[-1, 1)$ имеем $f(x) = 4$, а на отрезке $[1, 2]$ снова $f(x) = x^2$.

Таким образом, интеграл принимает вид:

$\int_{-2}^{2} f(x)dx = \int_{-2}^{-1} x^2 dx + \int_{-1}^{1} 4 dx + \int_{1}^{2} x^2 dx$

Вычислим каждый из трех интегралов:

$\int_{-2}^{-1} x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_{-2}^{-1} = \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{-1}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{-1+8}{3} = \frac{7}{3}$

$\int_{-1}^{1} 4 dx = [4x]_{-1}^{1} = 4(1) - 4(-1) = 4 + 4 = 8$

$\int_{1}^{2} x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Сложим полученные результаты:

$\int_{-2}^{2} f(x)dx = \frac{7}{3} + 8 + \frac{7}{3} = \frac{14}{3} + 8 = \frac{14}{3} + \frac{24}{3} = \frac{38}{3}$

Ответ: $\frac{38}{3}$