Номер 1.105, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.105. Вычислите определенный интеграл:

1) $\int_{-1}^{1} (2x+3)^6 dx;$

2) $\int_{-2}^{-1} \frac{1}{(x-3)^{10}} dx;$

3) $\int_{3}^{4} \sqrt{x-3} dx;$

4) $\int_{-8}^{8} \frac{dx}{\sqrt{5+\frac{x}{2}}}.$

1) Для вычисления интеграла $ \int_{-1}^{1} (2x+3)^6 dx $ применим метод замены переменной.

Пусть $ u = 2x + 3 $. Тогда дифференциал $ du = 2 dx $, откуда $ dx = \frac{1}{2} du $.

Найдем новые пределы интегрирования:

при $ x = -1 $, $ u = 2(-1) + 3 = 1 $;

при $ x = 1 $, $ u = 2(1) + 3 = 5 $.

Подставим новую переменную и пределы в интеграл:

$ \int_{-1}^{1} (2x+3)^6 dx = \int_{1}^{5} u^6 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^6 du $

Теперь вычислим полученный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{2} \left[ \frac{u^7}{7} \right]_{1}^{5} = \frac{1}{14} [u^7]_{1}^{5} = \frac{1}{14} (5^7 - 1^7) = \frac{1}{14} (78125 - 1) = \frac{78124}{14} = \frac{39062}{7} $.

Ответ: $ \frac{39062}{7} $.

2) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{-1} \frac{1}{(x-3)^{10}} dx $. Перепишем его в виде $ \int_{-2}^{-1} (x-3)^{-10} dx $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ u = x - 3 $. Тогда $ du = dx $.

Найдем новые пределы интегрирования:

при $ x = -2 $, $ u = -2 - 3 = -5 $;

при $ x = -1 $, $ u = -1 - 3 = -4 $.

Интеграл принимает вид:

$ \int_{-5}^{-4} u^{-10} du $

Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \left[ \frac{u^{-10+1}}{-10+1} \right]_{-5}^{-4} = \left[ \frac{u^{-9}}{-9} \right]_{-5}^{-4} = -\frac{1}{9} \left[ \frac{1}{u^9} \right]_{-5}^{-4} = -\frac{1}{9} \left( \frac{1}{(-4)^9} - \frac{1}{(-5)^9} \right) $

Упростим выражение:

$ -\frac{1}{9} \left( -\frac{1}{4^9} - \left(-\frac{1}{5^9}\right) \right) = -\frac{1}{9} \left( \frac{1}{5^9} - \frac{1}{4^9} \right) = \frac{1}{9} \left( \frac{1}{4^9} - \frac{1}{5^9} \right) $.

Ответ: $ \frac{1}{9} \left( \frac{1}{4^9} - \frac{1}{5^9} \right) $.

3) Для вычисления интеграла $ \int_{3}^{4} \sqrt{x-3} dx $ представим его как $ \int_{3}^{4} (x-3)^{1/2} dx $ и сделаем замену.

Пусть $ u = x - 3 $. Тогда $ du = dx $.

Найдем новые пределы интегрирования:

при $ x = 3 $, $ u = 3 - 3 = 0 $;

при $ x = 4 $, $ u = 4 - 3 = 1 $.

Интеграл становится:

$ \int_{0}^{1} u^{1/2} du $

Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \left[ \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} [u^{3/2}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} (1^{3/2} - 0^{3/2}) = \frac{2}{3} (1 - 0) = \frac{2}{3} $.

Ответ: $ \frac{2}{3} $.

4) Вычислим интеграл $ \int_{-8}^{8} \frac{dx}{\sqrt{5 + \frac{x}{2}}} $. Перепишем подынтегральное выражение как $ (5 + \frac{1}{2}x)^{-1/2} $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ u = 5 + \frac{x}{2} $. Тогда $ du = \frac{1}{2} dx $, откуда $ dx = 2 du $.

Найдем новые пределы интегрирования:

при $ x = -8 $, $ u = 5 + \frac{-8}{2} = 5 - 4 = 1 $;

при $ x = 8 $, $ u = 5 + \frac{8}{2} = 5 + 4 = 9 $.

Подставляем в интеграл:

$ \int_{1}^{9} u^{-1/2} \cdot 2 du = 2 \int_{1}^{9} u^{-1/2} du $

Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:

$ 2 \left[ \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} \right]_{1}^{9} = 2 \left[ \frac{u^{1/2}}{1/2} \right]_{1}^{9} = 2 [2u^{1/2}]_{1}^{9} = 4 [\sqrt{u}]_{1}^{9} $

$ 4 (\sqrt{9} - \sqrt{1}) = 4 (3 - 1) = 4 \cdot 2 = 8 $.

Ответ: $ 8 $.