Номер 1.110, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.110. Найдите площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

1) $y = x^4 - 29x^2 + 100$, $y = 0$;

2) $y = 2\cos x$, $y = 1$, $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$.

1)

Фигура ограничена кривой $y = x^4 - 29x^2 + 100$ и осью абсцисс $y=0$. Для нахождения площади необходимо найти точки пересечения этих линий.

Приравняем $\text{y}$ к нулю: $x^4 - 29x^2 + 100 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$t^2 - 29t + 100 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441 = 21^2$.

$t_{1,2} = \frac{29 \pm 21}{2}$.

$t_1 = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25$.

$t_2 = \frac{29 - 21}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Вернемся к переменной $\text{x}$:

$x^2 = 25 \implies x = \pm 5$.

$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Таким образом, точки пересечения с осью $\text{x}$ это $-5, -2, 2, 5$.

Функция $y(x) = x^4 - 29x^2 + 100$ является четной, так как $y(-x) = (-x)^4 - 29(-x)^2 + 100 = x^4 - 29x^2 + 100 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY.

Определим знак функции на интервалах между корнями:

• На интервале $(-2, 2)$, например при $x=0$, $y = 100 > 0$.
• На интервалах $(-5, -2)$ и $(2, 5)$, например при $x=\pm3$, $y = (\pm3)^4 - 29(\pm3)^2 + 100 = 81 - 29 \cdot 9 + 100 = 181 - 261 = -80 < 0$.

Площадь $\text{S}$ вычисляется как интеграл от модуля функции:

$S = \int_{-5}^{5} |x^4 - 29x^2 + 100| dx = \int_{-5}^{-2} -(x^4 - 29x^2 + 100)dx + \int_{-2}^{2} (x^4 - 29x^2 + 100)dx + \int_{2}^{5} -(x^4 - 29x^2 + 100)dx$.

В силу симметрии площади относительно оси OY, можно вычислить площадь для $x \ge 0$ и умножить результат на 2:

$S = 2 \left( \int_{0}^{2} (x^4 - 29x^2 + 100)dx + \int_{2}^{5} -(x^4 - 29x^2 + 100)dx \right)$.

Найдем первообразную для функции $y(x)$:

$F(x) = \int (x^4 - 29x^2 + 100)dx = \frac{x^5}{5} - \frac{29x^3}{3} + 100x$.

Вычислим определенные интегралы:

$\int_{0}^{2} (x^4 - 29x^2 + 100)dx = F(2) - F(0) = \left(\frac{2^5}{5} - \frac{29 \cdot 2^3}{3} + 100 \cdot 2\right) - 0 = \frac{32}{5} - \frac{232}{3} + 200 = \frac{96 - 1160 + 3000}{15} = \frac{1936}{15}$.

$\int_{2}^{5} (x^4 - 29x^2 + 100)dx = F(5) - F(2) = \left(\frac{5^5}{5} - \frac{29 \cdot 5^3}{3} + 100 \cdot 5\right) - \frac{1936}{15} = \left(625 - \frac{3625}{3} + 500\right) - \frac{1936}{15} = \left(1125 - \frac{3625}{3}\right) - \frac{1936}{15} = \frac{3375-3625}{3} - \frac{1936}{15} = -\frac{250}{3} - \frac{1936}{15} = -\frac{1250}{15} - \frac{1936}{15} = -\frac{3186}{15}$.

Теперь вычислим общую площадь:

$S = 2 \left( \frac{1936}{15} - \left(-\frac{3186}{15}\right) \right) = 2 \left( \frac{1936 + 3186}{15} \right) = 2 \cdot \frac{5122}{15} = \frac{10244}{15}$.

Ответ: $\frac{10244}{15}$.

2)

Фигура ограничена линиями $y=2\cos x$, $y=1$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Площадь фигуры $\text{S}$ равна интегралу от модуля разности функций $f(x)=2\cos x$ и $g(x)=1$ по заданному отрезку.

Сначала найдем точки пересечения графиков функций $y=2\cos x$ и $y=1$:

$2\cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{2}$.

На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ решениями являются $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |2\cos x - 1| dx$.

Разобьем интеграл на части в соответствии со знаком выражения $2\cos x - 1$:

• На интервале $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$, $2\cos x - 1 > 0$.
• На интервалах $[-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3})$ и $(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$, $2\cos x - 1 < 0$.

Таким образом, интеграл для площади можно записать в виде:

$S = \int_{-\pi/2}^{-\pi/3} (1 - 2\cos x)dx + \int_{-\pi/3}^{\pi/3} (2\cos x - 1)dx + \int_{\pi/3}^{\pi/2} (1 - 2\cos x)dx$.

Подынтегральная функция $|2\cos x - 1|$ является четной, поэтому ее график симметричен относительно оси OY. Можно упростить вычисления, взяв интеграл от $\text{0}$ до $\frac{\pi}{2}$ и умножив на 2:

$S = 2 \int_{0}^{\pi/2} |2\cos x - 1| dx = 2 \left( \int_{0}^{\pi/3} (2\cos x - 1)dx + \int_{\pi/3}^{\pi/2} (1 - 2\cos x)dx \right)$.

Вычислим интегралы:

$\int (2\cos x - 1)dx = 2\sin x - x + C$.

$\int (1 - 2\cos x)dx = x - 2\sin x + C$.

$\int_{0}^{\pi/3} (2\cos x - 1)dx = [2\sin x - x]_{0}^{\pi/3} = \left(2\sin\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) - (2\sin 0 - 0) = 2\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.

$\int_{\pi/3}^{\pi/2} (1 - 2\cos x)dx = [x - 2\sin x]_{\pi/3}^{\pi/2} = \left(\frac{\pi}{2} - 2\sin\frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{3} - 2\sin\frac{\pi}{3}\right) = \left(\frac{\pi}{2} - 2\right) - \left(\frac{\pi}{3} - 2\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - 2 - \frac{\pi}{3} + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 2 + \frac{\pi}{6}$.

Теперь найдем общую площадь:

$S = 2 \left( \left(\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}\right) + \left(\sqrt{3} - 2 + \frac{\pi}{6}\right) \right) = 2 \left( 2\sqrt{3} - 2 - \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) = 2 \left( 2\sqrt{3} - 2 - \frac{\pi}{6} \right) = 4\sqrt{3} - 4 - \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $4\sqrt{3} - 4 - \frac{\pi}{3}$.