Номер 1.116, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.116. Объясните, почему следующие выводы не верны:

1) $\int_{-1}^{1} x^{-2} dx = (-x^{-1})\Big|_{-1}^{1} = (-1)-1 = -2;$

2) $\int_{-2}^{1} \frac{2}{x^3} dx = \left(-\frac{1}{x^2}\right)\Big|_{-2}^{1} = -\frac{3}{4}.$

1) Вывод не верен, так как для применения формулы Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$ необходимо, чтобы подынтегральная функция $f(x)$ была непрерывна на всем отрезке интегрирования $[a, b]$.

В данном случае подынтегральная функция $f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв) в точке $x=0$, которая принадлежит отрезку интегрирования $[-1, 1]$. Следовательно, прямое применение формулы Ньютона-Лейбница некорректно.

Такой интеграл называется несобственным и должен вычисляться через предел. Для этого интеграл разбивается на два в точке разрыва: $\int_{-1}^{1} x^{-2} dx = \int_{-1}^{0} x^{-2} dx + \int_{0}^{1} x^{-2} dx$.

Интеграл сходится только в том случае, если сходятся обе его части. Проверим сходимость одной из частей, например, $\int_{0}^{1} x^{-2} dx$:

$\int_{0}^{1} x^{-2} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^{1} x^{-2} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} [-x^{-1}]_{\epsilon}^{1} = \lim_{\epsilon \to 0^+} (-\frac{1}{1} - (-\frac{1}{\epsilon})) = \lim_{\epsilon \to 0^+} (-1 + \frac{1}{\epsilon}) = +\infty$.

Поскольку одна из частей расходится (стремится к бесконечности), весь интеграл также расходится. Кроме того, стоит заметить, что функция $f(x) = \frac{1}{x^2}$ всегда положительна (кроме точки разрыва), поэтому ее определенный интеграл, если бы он сходился, должен был бы быть положительным числом, а не $-2$.

Ответ: Применение формулы Ньютона-Лейбница неправомерно, так как подынтегральная функция $f(x) = x^{-2}$ имеет бесконечный разрыв в точке $x=0$, принадлежащей отрезку интегрирования $[-1, 1]$. Интеграл является несобственным и расходится.

2) Аналогично первому пункту, вывод не верен из-за нарушения условия непрерывности подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

Подынтегральная функция $f(x) = \frac{2}{x^3}$ имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв) в точке $x=0$, которая находится внутри отрезка интегрирования $[-2, 1]$. Это означает, что применять формулу Ньютона-Лейбница напрямую нельзя.

Интеграл является несобственным, и для его вычисления необходимо разбить его на два в точке разрыва: $\int_{-2}^{1} \frac{2}{x^3} dx = \int_{-2}^{0} \frac{2}{x^3} dx + \int_{0}^{1} \frac{2}{x^3} dx$.

Проверим сходимость, например, второго слагаемого:

$\int_{0}^{1} \frac{2}{x^3} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^{1} 2x^{-3} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} [-\frac{1}{x^2}]_{\epsilon}^{1} = \lim_{\epsilon \to 0^+} (-\frac{1}{1^2} - (-\frac{1}{\epsilon^2})) = \lim_{\epsilon \to 0^+} (-1 + \frac{1}{\epsilon^2}) = +\infty$.

Так как одна из компонент интеграла расходится, то и весь исходный интеграл расходится.

Ответ: Применение формулы Ньютона-Лейбница неправомерно, так как подынтегральная функция $f(x) = \frac{2}{x^3}$ имеет бесконечный разрыв в точке $x=0$, принадлежащей отрезку интегрирования $[-2, 1]$. Интеграл является несобственным и расходится.