Номер 1.117, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.117. Упростите выражение:

1) $\frac{\text{tgx} + \text{tgy}}{\text{ctgx} + \text{ctgy}}$;

2) $\frac{\cos^2x - \text{ctg}^2x}{\sin^2x - \text{tg}^2x}$.

1)

Чтобы упростить выражение $ \frac{\text{tg}x + \text{tg}y}{\text{ctg}x + \text{ctg}y} $, воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. Заменим котангенсы в знаменателе на выражения через тангенсы, используя формулы $ \text{ctg}x = \frac{1}{\text{tg}x} $ и $ \text{ctg}y = \frac{1}{\text{tg}y} $.

$ \frac{\text{tg}x + \text{tg}y}{\text{ctg}x + \text{ctg}y} = \frac{\text{tg}x + \text{tg}y}{\frac{1}{\text{tg}x} + \frac{1}{\text{tg}y}} $

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $ \text{tg}x \cdot \text{tg}y $:

$ \frac{1}{\text{tg}x} + \frac{1}{\text{tg}y} = \frac{\text{tg}y + \text{tg}x}{\text{tg}x \cdot \text{tg}y} $

Теперь подставим это выражение обратно в знаменатель исходной дроби:

$ \frac{\text{tg}x + \text{tg}y}{\frac{\text{tg}x + \text{tg}y}{\text{tg}x \cdot \text{tg}y}} $

Для упрощения "четырехэтажной" дроби, мы умножаем числитель на дробь, обратную знаменателю:

$ (\text{tg}x + \text{tg}y) \cdot \frac{\text{tg}x \cdot \text{tg}y}{\text{tg}x + \text{tg}y} $

Сокращаем одинаковые множители $ (\text{tg}x + \text{tg}y) $:

$ \text{tg}x \cdot \text{tg}y $

Ответ: $ \text{tg}x \cdot \text{tg}y $

2)

Чтобы упростить выражение $ \frac{\cos^2 x - \text{ctg}^2 x}{\sin^2 x - \text{tg}^2 x} $, представим тангенс и котангенс через синус и косинус: $ \text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} $ и $ \text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x} $.

$ \frac{\cos^2 x - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}}{\sin^2 x - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} $

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе соответственно:

$ \frac{\cos^2 x (1 - \frac{1}{\sin^2 x})}{\sin^2 x (1 - \frac{1}{\cos^2 x})} $

Преобразуем выражения в скобках, приведя их к общему знаменателю:

$ 1 - \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x - 1}{\sin^2 x} $

$ 1 - \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - 1}{\cos^2 x} $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, находим, что $ \sin^2 x - 1 = -\cos^2 x $ и $ \cos^2 x - 1 = -\sin^2 x $. Подставим эти результаты:

$ \frac{\cos^2 x (\frac{-\cos^2 x}{\sin^2 x})}{\sin^2 x (\frac{-\sin^2 x}{\cos^2 x})} $

Перемножим дроби в числителе и знаменателе:

$ \frac{-\frac{\cos^4 x}{\sin^2 x}}{-\frac{\sin^4 x}{\cos^2 x}} $

Отрицательные знаки в числителе и знаменателе сокращаются. Теперь разделим дроби, умножив верхнюю на перевернутую нижнюю:

$ \frac{\cos^4 x}{\sin^2 x} \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^4 x} = \frac{\cos^4 x \cdot \cos^2 x}{\sin^2 x \cdot \sin^4 x} = \frac{\cos^6 x}{\sin^6 x} $

Это выражение можно записать как степень котангенса:

$ (\frac{\cos x}{\sin x})^6 = \text{ctg}^6 x $

Ответ: $ \text{ctg}^6 x $