Номер 1.122, страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.122. Зависимость скорости движения материальной точки от времени задана формулой $v(t) = t^2 - 3t + 2$. Найдите путь, пройденный точкой за первые четыре секунды движения, и расстояние, на которое она удалилась от начальной точки.

Найдите путь, пройденный точкой за первые четыре секунды движения

Путь, пройденный точкой, является интегралом от модуля скорости по времени. Зависимость скорости от времени задана как $v(t) = t^2 - 3t + 2$. Общий путь $\text{S}$ за время от $t_1=0$ до $t_2=4$ вычисляется по формуле: $S = \int_{0}^{4} |v(t)| dt = \int_{0}^{4} |t^2 - 3t + 2| dt$.

Чтобы раскрыть модуль, найдем интервалы знакопостоянства функции $v(t)$, решив уравнение $v(t) = 0$: $t^2 - 3t + 2 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

График функции $v(t)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, функция скорости неотрицательна ($v(t) \ge 0$) на промежутках $[0, 1]$ и $[2, 4]$, и отрицательна ($v(t) < 0$) на промежутке $(1, 2)$.

Таким образом, интеграл для вычисления пути необходимо разбить на три части: $S = \int_{0}^{1} (t^2 - 3t + 2) dt + \int_{1}^{2} -(t^2 - 3t + 2) dt + \int_{2}^{4} (t^2 - 3t + 2) dt$.

Найдем первообразную для функции $v(t)$: $F(t) = \int (t^2 - 3t + 2) dt = \frac{t^3}{3} - \frac{3t^2}{2} + 2t$.

Теперь вычислим определенные интегралы для каждого промежутка:

1. На промежутке $[0, 1]$:

$\int_{0}^{1} (t^2 - 3t + 2) dt = [\frac{t^3}{3} - \frac{3t^2}{2} + 2t]_{0}^{1} = (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) - 0 = \frac{2 - 9 + 12}{6} = \frac{5}{6}$.

2. На промежутке $[1, 2]$:

$\int_{1}^{2} |t^2 - 3t + 2| dt = |\int_{1}^{2} (t^2 - 3t + 2) dt| = |[\frac{t^3}{3} - \frac{3t^2}{2} + 2t]_{1}^{2}| = |(\frac{8}{3} - 6 + 4) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2)| = |\frac{2}{3} - \frac{5}{6}| = |\frac{4 - 5}{6}| = |-\frac{1}{6}| = \frac{1}{6}$.

3. На промежутке $[2, 4]$:

$\int_{2}^{4} (t^2 - 3t + 2) dt = [\frac{t^3}{3} - \frac{3t^2}{2} + 2t]_{2}^{4} = (\frac{4^3}{3} - \frac{3 \cdot 4^2}{2} + 2 \cdot 4) - (\frac{2^3}{3} - \frac{3 \cdot 2^2}{2} + 2 \cdot 2) = (\frac{64}{3} - 24 + 8) - (\frac{8}{3} - 6 + 4) = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$.

Общий путь $\text{S}$ равен сумме путей на каждом участке: $S = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{14}{3} = \frac{6}{6} + \frac{14}{3} = 1 + \frac{14}{3} = \frac{3+14}{3} = \frac{17}{3}$.

Ответ: $\frac{17}{3}$.

Найдите расстояние, на которое она удалилась от начальной точки

Расстояние, на которое точка удалилась от начальной точки, — это модуль её полного перемещения. Перемещение $\text{s}$ за первые четыре секунды вычисляется как определенный интеграл от функции скорости от $t=0$ до $t=4$. $s = \int_{0}^{4} v(t) dt = \int_{0}^{4} (t^2 - 3t + 2) dt$.

Используя найденную ранее первообразную $F(t) = \frac{t^3}{3} - \frac{3t^2}{2} + 2t$ и формулу Ньютона-Лейбница, получаем: $s = F(4) - F(0) = [\frac{t^3}{3} - \frac{3t^2}{2} + 2t]_{0}^{4} = (\frac{4^3}{3} - \frac{3 \cdot 4^2}{2} + 2 \cdot 4) - 0$.

$s = \frac{64}{3} - \frac{48}{2} + 8 = \frac{64}{3} - 24 + 8 = \frac{64}{3} - 16 = \frac{64 - 48}{3} = \frac{16}{3}$.

Перемещение $\text{s}$ равно $\frac{16}{3}$. Так как это значение положительно, расстояние от начальной точки равно величине перемещения.

Ответ: $\frac{16}{3}$.