Номер 1.124, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.124. Найдите путь, пройденный материальным телом за первые три секунды движения, и расстояние, на которое удалено тело от начальной точки, если его скорость задана функцией:

1) $v(t) = t^2 - t - 2$ м/с;

2) $v(t) = 3t^2 + 4t$ м/с.

1) Для функции скорости $v(t) = t^2 - t - 2$ м/с.

Сначала найдем расстояние, на которое тело удалено от начальной точки. Это значение равно модулю перемещения $\text{S}$ за первые 3 секунды. Перемещение вычисляется как определенный интеграл от скорости по времени от $t=0$ до $t=3$: $S = \int_{0}^{3} v(t) \,dt = \int_{0}^{3} (t^2 - t - 2) \,dt$.

Вычисляем первообразную и находим значение интеграла: $S = \left. \left( \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} - 2t \right) \right|_{0}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} - 2 \cdot 3 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} - 2 \cdot 0 \right) = \frac{27}{3} - \frac{9}{2} - 6 = 9 - 4.5 - 6 = -1.5$ м.

Расстояние от начальной точки — это модуль перемещения: $|S| = |-1.5| = 1.5$ м.

Далее найдем путь, пройденный телом, $\text{L}$. Он вычисляется как интеграл от модуля скорости (путевой скорости): $L = \int_{0}^{3} |v(t)| \,dt = \int_{0}^{3} |t^2 - t - 2| \,dt$.

Чтобы вычислить этот интеграл, нужно определить, на каких участках интервала $[0, 3]$ скорость $v(t)$ положительна, а на каких — отрицательна. Для этого найдем корни уравнения $v(t) = 0$: $t^2 - t - 2 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не принадлежит рассматриваемому промежутку времени $[0, 3]$. Корень $t_1 = 2$ делит этот промежуток на два: $[0, 2]$ и $[2, 3]$. На интервале $[0, 2)$ функция $v(t)$ отрицательна (например, $v(1) = 1 - 1 - 2 = -2 < 0$). На интервале $(2, 3]$ функция $v(t)$ положительна (например, $v(3) = 9 - 3 - 2 = 4 > 0$).

Таким образом, интеграл для пути разбивается на два: $L = \int_{0}^{2} |t^2 - t - 2| \,dt + \int_{2}^{3} |t^2 - t - 2| \,dt = \int_{0}^{2} -(t^2 - t - 2) \,dt + \int_{2}^{3} (t^2 - t - 2) \,dt$.

Вычисляем первый интеграл: $\int_{0}^{2} (-t^2 + t + 2) \,dt = \left. \left( -\frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + 2t \right) \right|_{0}^{2} = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - 0 = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18-8}{3} = \frac{10}{3}$ м.

Вычисляем второй интеграл: $\int_{2}^{3} (t^2 - t - 2) \,dt = \left. \left( \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} - 2t \right) \right|_{2}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} - 2 \cdot 3 \right) - \left( \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2 \right) = (-1.5) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) = -1.5 - (\frac{8}{3} - 6) = -\frac{3}{2} - (-\frac{10}{3}) = -\frac{3}{2} + \frac{10}{3} = \frac{-9+20}{6} = \frac{11}{6}$ м.

Суммарный пройденный путь: $L = \frac{10}{3} + \frac{11}{6} = \frac{20}{6} + \frac{11}{6} = \frac{31}{6}$ м.

Ответ: путь, пройденный телом, равен $\frac{31}{6}$ м; расстояние, на которое тело удалено от начальной точки, равно $1.5$ м.

2) Для функции скорости $v(t) = 3t^2 + 4t$ м/с.

Найдем расстояние, на которое тело удалено от начальной точки, вычислив перемещение $\text{S}$ за первые 3 секунды: $S = \int_{0}^{3} (3t^2 + 4t) \,dt$.

Вычисляем интеграл: $S = \left. \left( \frac{3t^3}{3} + \frac{4t^2}{2} \right) \right|_{0}^{3} = \left. \left( t^3 + 2t^2 \right) \right|_{0}^{3} = (3^3 + 2 \cdot 3^2) - 0 = 27 + 2 \cdot 9 = 27 + 18 = 45$ м.

Расстояние от начальной точки равно $45$ м.

Теперь найдем путь, пройденный телом, $\text{L}$: $L = \int_{0}^{3} |3t^2 + 4t| \,dt$.

Проверим знак функции скорости $v(t) = 3t^2 + 4t = t(3t+4)$ на интервале $[0, 3]$. Для любого $t > 0$ оба множителя $\text{t}$ и $(3t+4)$ положительны, следовательно, $v(t) > 0$. При $t=0$, $v(0)=0$. Таким образом, скорость $v(t)$ на интервале $[0, 3]$ неотрицательна и не меняет знак.

Поскольку скорость не меняет знак (тело движется в одном направлении), пройденный путь равен модулю перемещения. $L = |S| = 45$ м.

Ответ: путь, пройденный телом, равен $45$ м; расстояние, на которое тело удалено от начальной точки, равно $45$ м.