Номер 1.119, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.119. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $y = x^3 - 6x^2 - 15x + 8;$

2) $y = 3x^4 + 4x^3 - 24x^2 - 48x + 49.$

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = x^3 - 6x^2 - 15x + 8$ необходимо найти ее производную. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную функции:

$y' = (x^3 - 6x^2 - 15x + 8)' = 3x^2 - 12x - 15$.

Промежутки возрастания соответствуют условию $y' > 0$, а промежутки убывания - условию $y' < 0$. Для этого найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 12x - 15 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение -5. Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Эти критические точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 5)$, и $(5, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов.

- Для интервала $(-\infty, -1)$: возьмем пробную точку $x = -2$. $y'(-2) = 3(-2)^2 - 12(-2) - 15 = 12 + 24 - 15 = 21 > 0$. Значит, на этом интервале функция возрастает.

- Для интервала $(-1, 5)$: возьмем пробную точку $x = 0$. $y'(0) = 3(0)^2 - 12(0) - 15 = -15 < 0$. Значит, на этом интервале функция убывает.

- Для интервала $(5, +\infty)$: возьмем пробную точку $x = 6$. $y'(6) = 3(6)^2 - 12(6) - 15 = 108 - 72 - 15 = 21 > 0$. Значит, на этом интервале функция возрастает.

Поскольку функция непрерывна, концы интервалов можно включить в ответ.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[5, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 5]$.

2) Найдем промежутки возрастания и убывания для функции $y = 3x^4 + 4x^3 - 24x^2 - 48x + 49$. Функция определена на всей числовой оси, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную функции:

$y' = (3x^4 + 4x^3 - 24x^2 - 48x + 49)' = 12x^3 + 12x^2 - 48x - 48$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$12x^3 + 12x^2 - 48x - 48 = 0$

Разделим уравнение на 12:

$x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$x^2(x+1) - 4(x+1) = 0$

$(x^2 - 4)(x+1) = 0$

$(x-2)(x+2)(x+1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2$.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, -1)$, $(-1, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале.

- Для интервала $(-\infty, -2)$: возьмем точку $x = -3$. $y'(-3) = 12(-3+1)(-3-2)(-3+2) = 12(-2)(-5)(-1) = -120 < 0$. Функция убывает.

- Для интервала $(-2, -1)$: возьмем точку $x = -1.5$. $y'(-1.5) = 12(-1.5+1)(-1.5-2)(-1.5+2) = 12(-0.5)(-3.5)(0.5) = 10.5 > 0$. Функция возрастает.

- Для интервала $(-1, 2)$: возьмем точку $x = 0$. $y'(0) = 12(0)^3 + 12(0)^2 - 48(0) - 48 = -48 < 0$. Функция убывает.

- Для интервала $(2, +\infty)$: возьмем точку $x = 3$. $y'(3) = 12(3+1)(3-2)(3+2) = 12(4)(1)(5) = 240 > 0$. Функция возрастает.

Таким образом, объединяем интервалы.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-2, -1]$ и $[2, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[-1, 2]$.