Номер 1.106, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.106. Вычислите определенный интеграл, предварительно преобразовав подынтегральное выражение:

1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{16}} \sin 2x \cos 2x dx;$

2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (\sin x + \cos x)^2 dx;$

3) $\int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx;$

4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx;$

5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \text{tg}^2 x dx;$

6) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \left(3x - \frac{\pi}{6}\right) dx.$

1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{16}} \sin(2x)\cos(2x)dx$

Для преобразования подынтегрального выражения используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. Отсюда $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

В нашем случае $\alpha = 2x$, поэтому $\sin(2x)\cos(2x) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2}\sin(4x)$.

Теперь вычислим интеграл:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{16}} \frac{1}{2}\sin(4x)dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{16}} \sin(4x)dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{4}\cos(4x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{16}} = -\frac{1}{8} \left[ \cos(4x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{16}}$

$= -\frac{1}{8} \left( \cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{16}\right) - \cos(4 \cdot 0) \right) = -\frac{1}{8} \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos(0) \right)$

$= -\frac{1}{8} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \right) = \frac{1}{8} \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{2-\sqrt{2}}{16}$.

Ответ: $\frac{2-\sqrt{2}}{16}$.

2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (\sin x + \cos x)^2 dx$

Раскроем скобки в подынтегральном выражении: $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$, получаем:

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x \cos x = 1 + \sin(2x)$.

Вычисляем интеграл от преобразованного выражения:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (1 + \sin(2x))dx = \left[ x - \frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}$

$= \left( \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) \right) - \left( 0 - \frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0) \right)$

$= \left( \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \right) - \left( -\frac{1}{2}\cos(0) \right) = \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{\pi}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{1}{4}$.

3) $\int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx$

Используем формулу понижения степени для синуса: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

Подставляем в интеграл:

$\int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2x))dx = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{0}^{\pi}$

$= \frac{1}{2} \left( \left( \pi - \frac{1}{2}\sin(2\pi) \right) - \left( 0 - \frac{1}{2}\sin(0) \right) \right) = \frac{1}{2} ((\pi - 0) - (0 - 0)) = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

4) $\int_{0}^{\pi} \cos^2 x dx$

Используем формулу понижения степени для косинуса: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

Подставляем в интеграл:

$\int_{0}^{\pi} \frac{1 + \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 + \cos(2x))dx = \frac{1}{2} \left[ x + \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{0}^{\pi}$

$= \frac{1}{2} \left( \left( \pi + \frac{1}{2}\sin(2\pi) \right) - \left( 0 + \frac{1}{2}\sin(0) \right) \right) = \frac{1}{2} ((\pi + 0) - (0 + 0)) = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tg^2 x dx$

Используем тригонометрическое тождество: $\tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \right) dx = \left[ \tg x - x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$= \left( \tg\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{4} \right) - (\tg(0) - 0) = \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) - (0 - 0) = 1 - \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $1 - \frac{\pi}{4}$.

6) $\int_{0}^{\pi} \sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) dx$

Данный интеграл является табличным. Преобразование не требуется, вычисляем напрямую:

$\int_{0}^{\pi} \sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) dx = \left[ -\frac{1}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) \right]_{0}^{\pi}$

$= -\frac{1}{3}\cos\left(3\pi - \frac{\pi}{6}\right) - \left(-\frac{1}{3}\cos\left(3 \cdot 0 - \frac{\pi}{6}\right)\right)$

$= -\frac{1}{3}\cos\left(\frac{17\pi}{6}\right) + \frac{1}{3}\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Так как $\cos(-x)=\cos(x)$ и $\cos\left(\frac{17\pi}{6}\right) = \cos\left(2\pi + \frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$= -\frac{1}{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.