Номер 1.99, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.99. Выполните следующее задание.

1) Выполняется ли равенство $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$, если $f(x)$ - четная функция? Почему?

2) Вычислите рациональным способом площади фигур, изображенных на рисунках 1.32, 1.33. $f(x) = 4 - |x|$

Рис. 1.32 $f(x) = 25 - x^2$

Рис. 1.33

1) Да, данное равенство выполняется для любой четной функции $f(x)$.

По свойству аддитивности определенного интеграла: $ \int_{-a}^{a} f(x)dx = \int_{-a}^{0} f(x)dx + \int_{0}^{a} f(x)dx $

Рассмотрим первый интеграл в правой части: $ \int_{-a}^{0} f(x)dx $. Сделаем замену переменной: $t = -x$. Тогда $dt = -dx$. При $x = -a$ новая переменная $t = a$. При $x = 0$ новая переменная $t = 0$. $ \int_{-a}^{0} f(x)dx = \int_{a}^{0} f(-t)(-dt) = -\int_{a}^{0} f(-t)dt $

Поскольку функция $f(x)$ четная, то $f(-t) = f(t)$. $ -\int_{a}^{0} f(-t)dt = -\int_{a}^{0} f(t)dt $

Поменяем пределы интегрирования, изменив знак перед интегралом: $ -\int_{a}^{0} f(t)dt = \int_{0}^{a} f(t)dt $

Так как переменная интегрирования не влияет на значение определенного интеграла, то $ \int_{0}^{a} f(t)dt = \int_{0}^{a} f(x)dx $. Таким образом, мы показали, что $ \int_{-a}^{0} f(x)dx = \int_{0}^{a} f(x)dx $.

Подставим это в исходное разложение: $ \int_{-a}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a} f(x)dx + \int_{0}^{a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx $

Геометрически это означает, что для графика четной функции, который симметричен относительно оси Oy, площадь криволинейной трапеции на отрезке $[-a, 0]$ равна площади криволинейной трапеции на отрезке $[0, a]$. Поэтому общая площадь на отрезке $[-a, a]$ равна удвоенной площади на отрезке $[0, a]$.

Ответ: Да, выполняется.

2) Для вычисления площадей, изображенных на рисунках, используем рациональные способы.

Рис. 1.32

Фигура, ограниченная графиком функции $f(x) = 4 - |x|$ и осью абсцисс, представляет собой треугольник. Рациональный способ вычисления её площади — использование геометрической формулы площади треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Основание треугольника лежит на оси Ox. Найдем точки пересечения графика с осью Ox, решив уравнение $f(x) = 0$: $4 - |x| = 0 \implies |x| = 4 \implies x_1 = -4, x_2 = 4$.

Длина основания равна $4 - (-4) = 8$.

Высота треугольника — это максимальное значение функции, которое достигается в вершине при $x=0$. $f(0) = 4 - |0| = 4$.

Высота равна 4.

Теперь вычислим площадь: $ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16 $.

Ответ: Площадь фигуры на рис. 1.32 равна 16.

Рис. 1.33

Фигура ограничена графиком функции $f(x) = 25 - x^2$ (парабола) и осью абсцисс. Для вычисления площади необходимо использовать определенный интеграл. Рациональный способ в данном случае — это использование симметрии фигуры.

Функция $f(x) = 25 - x^2$ является четной, так как $f(-x) = 25 - (-x)^2 = 25 - x^2 = f(x)$. Её график симметричен относительно оси Oy.

Найдем пределы интегрирования, решив уравнение $f(x) = 0$: $25 - x^2 = 0 \implies x^2 = 25 \implies x_1 = -5, x_2 = 5$.

Площадь $\text{S}$ равна интегралу: $ S = \int_{-5}^{5} (25 - x^2)dx $

Используя свойство интеграла от четной функции (доказанное в пункте 1), упростим вычисление: $ S = 2\int_{0}^{5} (25 - x^2)dx = 2 \cdot \left[25x - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{5} $

Подставим пределы интегрирования: $ S = 2 \cdot \left( \left(25 \cdot 5 - \frac{5^3}{3}\right) - \left(25 \cdot 0 - \frac{0^3}{3}\right) \right) = 2 \cdot \left(125 - \frac{125}{3}\right) $

$ S = 2 \cdot \left(\frac{3 \cdot 125 - 125}{3}\right) = 2 \cdot \left(\frac{2 \cdot 125}{3}\right) = \frac{4 \cdot 125}{3} = \frac{500}{3} $

Ответ: Площадь фигуры на рис. 1.33 равна $\frac{500}{3}$.