Номер 1.95, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.95. Найдите площадь трапеции, ограниченной указанными прямыми, геометрическим способом и с помощью интеграла, сделайте чертеж:

1) $y = -\frac{2}{3}x + 4$

$y = 0$

$x = 0$

$x = 4$

2) $y = 4x - 5$

$y = 0$

$x = -2$

$x = -3$

1) Фигура, площадь которой необходимо найти, ограничена прямыми $y = -\frac{2}{3}x + 4$, $y = 0$ (ось Ox), $x = 0$ (ось Oy) и $x = 4$.

Чертеж:

Данные прямые образуют на координатной плоскости прямоугольную трапецию. Найдем координаты ее вершин, которые являются точками пересечения заданных прямых:

• Пересечение прямых $x=0$ и $y=0$: точка $(0, 0)$.
• Пересечение прямых $x=4$ и $y=0$: точка $(4, 0)$.
• Пересечение прямых $x=0$ и $y = -\frac{2}{3}x + 4$: подставив $x=0$, получаем $y = -\frac{2}{3}(0) + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• Пересечение прямых $x=4$ и $y = -\frac{2}{3}x + 4$: подставив $x=4$, получаем $y = -\frac{2}{3}(4) + 4 = -\frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{4}{3}$. Точка $(4, \frac{4}{3})$.

Таким образом, вершины трапеции находятся в точках $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(4, \frac{4}{3})$ и $(0, 4)$. Трапеция расположена в первом координатном квадранте.

Геометрический способ:

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $\text{a}$ и $\text{b}$ – длины оснований, а $\text{h}$ – высота. В нашем случае основаниями являются вертикальные отрезки, параллельные оси Oy.

• Длина первого основания $\text{a}$ (при $x=0$) равна $y(0) = 4$.
• Длина второго основания $\text{b}$ (при $x=4$) равна $y(4) = \frac{4}{3}$.
• Высота $\text{h}$ – это расстояние между основаниями вдоль оси Ox, равное $4 - 0 = 4$.

Подставляем значения в формулу:

$S = \frac{4 + \frac{4}{3}}{2} \cdot 4 = \frac{\frac{12}{3} + \frac{4}{3}}{2} \cdot 4 = \frac{\frac{16}{3}}{2} \cdot 4 = \frac{16}{6} \cdot 4 = \frac{8}{3} \cdot 4 = \frac{32}{3}$.

Площадь трапеции равна $\frac{32}{3}$ квадратных единиц.

С помощью интеграла:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ (где $f(x) \ge 0$), осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется как определенный интеграл $S = \int_{a}^{b} f(x)dx$.

В нашем случае $f(x) = -\frac{2}{3}x + 4$, $a=0$, $b=4$. Функция на отрезке $[0, 4]$ принимает неотрицательные значения.

$S = \int_{0}^{4} \left(-\frac{2}{3}x + 4\right) dx = \left[-\frac{2}{3} \cdot \frac{x^2}{2} + 4x\right]_{0}^{4} = \left[-\frac{x^2}{3} + 4x\right]_{0}^{4}$

$S = \left(-\frac{4^2}{3} + 4 \cdot 4\right) - \left(-\frac{0^2}{3} + 4 \cdot 0\right) = \left(-\frac{16}{3} + 16\right) - 0 = \frac{-16+48}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $S = \frac{32}{3}$.

2) Фигура, площадь которой необходимо найти, ограничена прямыми $y = 4x - 5$, $y = 0$ (ось Ox), $x = -2$ и $x = -3$.

Чертеж:

Данные прямые образуют на координатной плоскости прямоугольную трапецию. Найдем координаты ее вершин:

• Пересечение прямых $x=-3$ и $y=0$: точка $(-3, 0)$.
• Пересечение прямых $x=-2$ и $y=0$: точка $(-2, 0)$.
• Пересечение прямых $x=-3$ и $y = 4x - 5$: подставив $x=-3$, получаем $y = 4(-3) - 5 = -12 - 5 = -17$. Точка $(-3, -17)$.
• Пересечение прямых $x=-2$ и $y = 4x - 5$: подставив $x=-2$, получаем $y = 4(-2) - 5 = -8 - 5 = -13$. Точка $(-2, -13)$.

Вершины трапеции: $(-3, 0)$, $(-2, 0)$, $(-2, -13)$ и $(-3, -17)$. Вся трапеция расположена под осью Ox (в третьем квадранте).

Геометрический способ:

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$. Основаниями являются вертикальные отрезки, а высотой — расстояние между ними.

• Длина первого основания $\text{a}$ (при $x=-3$) равна длине отрезка, т.е. модулю ординаты: $|y(-3)| = |-17| = 17$.
• Длина второго основания $\text{b}$ (при $x=-2$) равна $|y(-2)| = |-13| = 13$.
• Высота $\text{h}$ – это расстояние между прямыми $x=-3$ и $x=-2$, равное $|-2 - (-3)| = 1$.

Подставляем значения в формулу:

$S = \frac{17 + 13}{2} \cdot 1 = \frac{30}{2} = 15$.

Площадь трапеции равна $15$ квадратных единиц.

С помощью интеграла:

Так как на отрезке $[-3, -2]$ функция $f(x) = 4x - 5$ принимает отрицательные значения (график лежит под осью Ox), площадь вычисляется по формуле $S = -\int_{a}^{b} f(x)dx$ или как модуль значения интеграла $S = \left|\int_{a}^{b} f(x)dx\right|$.

Вычислим определенный интеграл:

$\int_{-3}^{-2} (4x - 5) dx = \left[4 \frac{x^2}{2} - 5x\right]_{-3}^{-2} = \left[2x^2 - 5x\right]_{-3}^{-2}$

$= (2(-2)^2 - 5(-2)) - (2(-3)^2 - 5(-3)) = (2 \cdot 4 + 10) - (2 \cdot 9 + 15) = (8 + 10) - (18 + 15) = 18 - 33 = -15$.

Значение интеграла равно $-15$. Площадь является абсолютной величиной этого значения:

$S = |-15| = 15$.

Ответ: $S = 15$.