Номер 1.88, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.88. Вычислите:

1) $ \int_{0}^{1} (5x^4 - 5\cos x)dx; $

2) $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (7\sin x - 3x^2)dx; $

3) $ \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1)dx; $

4) $ \int_{1}^{8} (x^2 + \frac{1}{x^2})dx. $

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\pi} (5x^4 - 5\cos x)dx$ необходимо найти первообразную для подынтегральной функции и применить формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$.

Подынтегральная функция $f(x) = 5x^4 - 5\cos x$.

Найдем первообразную, используя правила интегрирования:

$\int (5x^4 - 5\cos x)dx = \int 5x^4 dx - \int 5\cos x dx = 5\int x^4 dx - 5\int \cos x dx$.

Первообразная для $x^n$ равна $\frac{x^{n+1}}{n+1}$, а для $\cos x$ равна $\sin x$.

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 5\sin x = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 5\sin x = x^5 - 5\sin x$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$[x^5 - 5\sin x]_{0}^{\pi} = (\pi^5 - 5\sin\pi) - (0^5 - 5\sin 0)$.

Так как $\sin\pi = 0$ и $\sin 0 = 0$, получаем:

$(\pi^5 - 5 \cdot 0) - (0 - 5 \cdot 0) = \pi^5 - 0 = \pi^5$.

Ответ: $\pi^5$.

2) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (7\sin x - 3x^2)dx$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = 7\sin x - 3x^2$.

$\int (7\sin x - 3x^2)dx = 7\int \sin x dx - 3\int x^2 dx$.

Первообразная для $\sin x$ равна $-\cos x$, а для $x^2$ равна $\frac{x^3}{3}$.

$F(x) = 7(-\cos x) - 3 \cdot \frac{x^3}{3} = -7\cos x - x^3$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами от 0 до $\frac{\pi}{2}$:

$[-7\cos x - x^3]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-7\cos(\frac{\pi}{2}) - (\frac{\pi}{2})^3) - (-7\cos(0) - 0^3)$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$(-7 \cdot 0 - \frac{\pi^3}{8}) - (-7 \cdot 1 - 0) = -\frac{\pi^3}{8} - (-7) = 7 - \frac{\pi^3}{8}$.

Ответ: $7 - \frac{\pi^3}{8}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1)dx$.

Найдем первообразную для полинома $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$.

$\int (3x^2 - 2x + 1)dx = 3\int x^2 dx - 2\int x dx + \int 1 dx$.

$F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x = x^3 - x^2 + x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами от 0 до 1:

$[x^3 - x^2 + x]_{0}^{1} = (1^3 - 1^2 + 1) - (0^3 - 0^2 + 0)$.

$(1 - 1 + 1) - 0 = 1$.

Ответ: $\text{1}$.

4) Вычислим интеграл $\int_{1}^{8} (x^2 + \frac{1}{x^2})dx$.

Перепишем подынтегральную функцию, используя отрицательные степени: $f(x) = x^2 + x^{-2}$.

Найдем первообразную:

$\int (x^2 + x^{-2})dx = \int x^2 dx + \int x^{-2} dx$.

$F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^3}{3} + \frac{x^{-1}}{-1} = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{x}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами от 1 до 8:

$[\frac{x^3}{3} - \frac{1}{x}]_{1}^{8} = (\frac{8^3}{3} - \frac{1}{8}) - (\frac{1^3}{3} - \frac{1}{1})$.

$= (\frac{512}{3} - \frac{1}{8}) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{512}{3} - \frac{1}{8} - \frac{1}{3} + 1$.

Сгруппируем слагаемые: $(\frac{512}{3} - \frac{1}{3}) + (1 - \frac{1}{8}) = \frac{511}{3} + \frac{7}{8}$.

Приведем к общему знаменателю 24:

$\frac{511 \cdot 8}{24} + \frac{7 \cdot 3}{24} = \frac{4088 + 21}{24} = \frac{4109}{24}$.

Ответ: $\frac{4109}{24}$.