Номер 1.82, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.82. Вычислите:

1) $\int_{-2}^{3}(2x-1)dx$;

2) $\int_{1}^{8}(3-x)dx$;

3) $\int_{1}^{9}\sqrt{x}dx$;

4) $\int_{1}^{4}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$.

1) Чтобы вычислить определенный интеграл $\int_{-2}^{3} (2x-1)dx$, мы используем формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x-1$.

По правилам интегрирования, первообразная для $2x$ равна $2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$.

Первообразная для $-1$ равна $-x$.

Следовательно, первообразная $F(x)$ для функции $2x-1$ имеет вид $F(x) = x^2 - x$.

Теперь вычислим значение интеграла, подставив пределы интегрирования:

$\int_{-2}^{3} (2x-1)dx = (x^2 - x)|_{-2}^{3} = (3^2 - 3) - ((-2)^2 - (-2))$

$= (9 - 3) - (4 + 2) = 6 - 6 = 0$.

Ответ: $\text{0}$

2) Вычислим интеграл $\int_{1}^{8} (3-x)dx$, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 3-x$.

Первообразная для $\text{3}$ равна $3x$.

Первообразная для $-x$ равна $-\frac{x^2}{2}$.

Таким образом, первообразная $F(x) = 3x - \frac{x^2}{2}$.

Подставим пределы интегрирования $a=1$ и $b=8$:

$\int_{1}^{8} (3-x)dx = (3x - \frac{x^2}{2})|_{1}^{8} = (3 \cdot 8 - \frac{8^2}{2}) - (3 \cdot 1 - \frac{1^2}{2})$

$= (24 - \frac{64}{2}) - (3 - \frac{1}{2}) = (24 - 32) - (\frac{6-1}{2}) = -8 - \frac{5}{2}$

$= -\frac{16}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{21}{2} = -10.5$.

Ответ: $-\frac{21}{2}$

3) Вычислим интеграл $\int_{1}^{9} \sqrt{x}dx$.

Представим подынтегральную функцию в виде степенной функции: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.

Найдем первообразную для $f(x) = x^{1/2}$ по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами $a=1$ и $b=9$:

$\int_{1}^{9} \sqrt{x}dx = (\frac{2}{3}x^{3/2})|_{1}^{9} = \frac{2}{3}(9^{3/2}) - \frac{2}{3}(1^{3/2})$

Так как $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$ и $1^{3/2} = 1$, получаем:

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1 = 2 \cdot 9 - \frac{2}{3} = 18 - \frac{2}{3} = \frac{54-2}{3} = \frac{52}{3}$.

Ответ: $\frac{52}{3}$

4) Вычислим интеграл $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}}dx$.

Представим подынтегральную функцию в виде степенной функции: $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$.

Найдем первообразную для $f(x) = x^{-1/2}$:

$F(x) = \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами $a=1$ и $b=4$:

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}}dx = (2\sqrt{x})|_{1}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1}$

$= 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2$.

Ответ: $\text{2}$