Номер 1.77, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.77. Вычислите:

1) $\int_{2}^{6} 8dx$;

2) $\int_{-2}^{3} xdx$;

3) $\int_{-1}^{1} x^3dx$;

4) $\int_{1}^{4} 4x^2dx$;

5) $\int_{-2}^{1} (2x^2 + 3)dx$.

1) Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Для интеграла $\int_2^6 8dx$ подынтегральная функция $f(x) = 8$. Ее первообразная $F(x) = 8x$.

Подставляем значения в формулу:

$\int_2^6 8dx = 8x \Big|_2^6 = 8 \cdot 6 - 8 \cdot 2 = 48 - 16 = 32$.

Ответ: $32$.

2) Для интеграла $\int_{-2}^3 xdx$ подынтегральная функция $f(x) = x$. Ее первообразная $F(x) = \frac{x^2}{2}$.

Подставляем значения в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^3 xdx = \frac{x^2}{2} \Big|_{-2}^3 = \frac{3^2}{2} - \frac{(-2)^2}{2} = \frac{9}{2} - \frac{4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Ответ: $2.5$.

3) Для интеграла $\int_{-1}^1 x^3 dx$ подынтегральная функция $f(x) = x^3$. Ее первообразная $F(x) = \frac{x^4}{4}$.

Подставляем значения в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-1}^1 x^3 dx = \frac{x^4}{4} \Big|_{-1}^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$.

Ответ: $\text{0}$.

4) Для интеграла $\int_1^4 4x^2 dx$ подынтегральная функция $f(x) = 4x^2$. Ее первообразная $F(x) = 4 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{4x^3}{3}$.

Подставляем значения в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_1^4 4x^2 dx = \frac{4x^3}{3} \Big|_1^4 = \frac{4 \cdot 4^3}{3} - \frac{4 \cdot 1^3}{3} = \frac{4 \cdot 64}{3} - \frac{4}{3} = \frac{256}{3} - \frac{4}{3} = \frac{252}{3} = 84$.

Ответ: $84$.

5) Для интеграла $\int_{-2}^1 (2x^2 + 3)dx$ подынтегральная функция $f(x) = 2x^2 + 3$. Ее первообразная $F(x) = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + 3x = \frac{2x^3}{3} + 3x$.

Подставляем значения в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^1 (2x^2 + 3)dx = (\frac{2x^3}{3} + 3x) \Big|_{-2}^1 = (\frac{2 \cdot 1^3}{3} + 3 \cdot 1) - (\frac{2 \cdot (-2)^3}{3} + 3 \cdot (-2)) = (\frac{2}{3} + 3) - (\frac{2 \cdot (-8)}{3} - 6) = (\frac{2}{3} + \frac{9}{3}) - (-\frac{16}{3} - \frac{18}{3}) = \frac{11}{3} - (-\frac{34}{3}) = \frac{11}{3} + \frac{34}{3} = \frac{45}{3} = 15$.

Ответ: $15$.