Номер 1.73, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.73. Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = f(x)$, прямыми $x = a$, $x = b$ и осью абсцисс:

1) $y = x^2, a = 1, b = 3;$

2) $y = x^3, a = 0, b = 1;$

3) $y = 4x - x^2, a = 2, b = 4;$

4) $y = \frac{1}{x^2}, a = -2, b = -1.$

1) y = x², a = 1, b = 3;

Криволинейная трапеция в данном случае ограничена графиком функции $y = x^2$ (парабола), осью абсцисс ($y=0$), и двумя вертикальными прямыми $x=1$ и $x=3$. На всем отрезке $[1, 3]$ функция $y=x^2$ принимает положительные значения, поэтому трапеция будет расположена в первой координатной четверти, над осью Ox. Ключевые точки, определяющие фигуру:

• На оси абсцисс: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.
• На графике функции: точка, соответствующая $x=1$, это $(1, 1^2) = (1, 1)$. Точка, соответствующая $x=3$, это $(3, 3^2) = (3, 9)$.

Таким образом, фигура ограничена отрезком оси Ox от $x=1$ до $x=3$, вертикальными отрезками от $(1,0)$ до $(1,1)$ и от $(3,0)$ до $(3,9)$, и дугой параболы $y=x^2$ между точками $(1,1)$ и $(3,9)$. Ниже представлено графическое изображение этой криволинейной трапеции.

Ответ: Изображение фигуры представлено на графике выше.

2) y = x³, a = 0, b = 1;

Фигура ограничена графиком функции $y = x^3$ (кубическая парабола), осью абсцисс ($y=0$), и прямыми $x=0$ (ось ординат) и $x=1$. На отрезке $[0, 1]$ функция $y=x^3$ неотрицательна. Ключевые точки:

• На оси абсцисс: $(0, 0)$ и $(1, 0)$.
• На графике функции: $(0, 0^3) = (0, 0)$ и $(1, 1^3) = (1, 1)$.

Трапеция вырождается в фигуру, ограниченную отрезком оси Ox от $x=0$ до $x=1$, вертикальным отрезком от $(1,0)$ до $(1,1)$ и дугой кубической параболы от $(0,0)$ до $(1,1)$.

Ответ: Изображение фигуры представлено на графике выше.

3) y = 4x - x², a = 2, b = 4;

Функция $y = 4x - x^2$ является параболой с ветвями, направленными вниз. Её можно переписать в виде $y = -(x-2)^2 + 4$, откуда видно, что вершина параболы находится в точке $(2, 4)$. Нули функции находятся в точках $x=0$ и $x=4$. Фигура ограничена параболой, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=2$ и $x=4$. На отрезке $[2, 4]$ функция положительна. Ключевые точки:

• На оси абсцисс: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.
• На графике функции: $(2, 4(2)-2^2) = (2, 4)$ и $(4, 4(4)-4^2) = (4, 0)$.

Фигура ограничена отрезком оси Ox от $x=2$ до $x=4$, вертикальным отрезком от $(2,0)$ до $(2,4)$ (совпадает с линией $x=2$ от оси до вершины параболы) и дугой параболы от $(2,4)$ до $(4,0)$.

Ответ: Изображение фигуры представлено на графике выше.

4) y = 1/x², a = -2, b = -1;

Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=-2$ и $x=-1$. Функция $y = \frac{1}{x^2}$ всегда положительна при $x \ne 0$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$. На отрезке $[-2, -1]$ функция также положительна, поэтому трапеция расположена во второй координатной четверти. Ключевые точки:

• На оси абсцисс: $(-2, 0)$ и $(-1, 0)$.
• На графике функции: $(-2, \frac{1}{(-2)^2}) = (-2, 0.25)$ и $(-1, \frac{1}{(-1)^2}) = (-1, 1)$.

Трапеция ограничена отрезком оси Ox от $x=-2$ до $x=-1$, вертикальными отрезками от $(-2,0)$ до $(-2,0.25)$ и от $(-1,0)$ до $(-1,1)$, и дугой графика функции между точками $(-2,0.25)$ и $(-1,1)$.

Ответ: Изображение фигуры представлено на графике выше.