Вопросы, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что называется криволинейной трапецией?

2. Какая формула применяется для вычисления площади криволинейной трапеции?

3. Что называют определенным интегралом?

4. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

5. Напишите свойства определенного интеграла и поясните их смысл.

1. Что называется криволинейной трапецией?

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$, осью абсцисс (прямой $y=0$) и двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$. Таким образом, ее границы составляют:

• снизу – отрезок $[a, b]$ оси Ox;
• сверху – график функции $y=f(x)$, где $f(x) \ge 0$ для $x \in [a, b]$;
• по бокам – прямые $x=a$ и $x=b$.

Ответ: Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная осью Ox, прямыми $x=a$, $x=b$ и графиком неотрицательной непрерывной функции $y=f(x)$ на отрезке $[a, b]$.

2. Какая формула применяется для вычисления площади криволинейной трапеции?

Для вычисления площади $\text{S}$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ (где $f(x) \ge 0$), осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, применяется формула определенного интеграла:

$S = \int_a^b f(x) \,dx$

Геометрический смысл этого определенного интеграла как раз и заключается в площади указанной фигуры.

Ответ: $S = \int_a^b f(x) \,dx$.

3. Что называют определенным интегралом?

Определенным интегралом от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ называется предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков разбиения стремится к нулю.

Более формально: пусть функция $f(x)$ определена на отрезке $[a, b]$. Разобьем этот отрезок на $\text{n}$ произвольных частичных отрезков точками $a=x_0 < x_1 < \dots < x_n=b$. Длину каждого отрезка обозначим $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$. В каждом частичном отрезке $[x_{i-1}, x_i]$ выберем произвольную точку $\xi_i$. Сумма вида $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$ называется интегральной суммой. Если при стремлении максимальной из длин $\Delta x_i$ к нулю существует предел этих интегральных сумм, который не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек $\xi_i$, то этот предел и называется определенным интегралом функции $f(x)$ по отрезку $[a, b]$ и обозначается $\int_a^b f(x) \,dx$.

$\int_a^b f(x) \,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$

Ответ: Определенный интеграл – это предел интегральных сумм, который, если существует, представляет собой число, равное (в случае неотрицательной функции) площади криволинейной трапеции.

4. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница (основная теорема анализа) устанавливает связь между определенным интегралом и первообразной. Она гласит, что если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, а $F(x)$ – любая ее первообразная на этом отрезке (то есть $F'(x) = f(x)$), то определенный интеграл от $\text{a}$ до $\text{b}$ равен разности значений первообразной на концах отрезка:

$\int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

Разность $F(b) - F(a)$ также часто записывают в виде $\left. F(x) \right|_a^b$.

Ответ: $\int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ – первообразная для $f(x)$.

5. Напишите свойства определенного интеграла и поясните их смысл.

Основные свойства определенного интеграла (для непрерывных на отрезке $[a, b]$ функций $f(x)$ и $g(x)$):

• Линейность:

  1) $\int_a^b (f(x) + g(x)) \,dx = \int_a^b f(x) \,dx + \int_a^b g(x) \,dx$

  Смысл: Интеграл от суммы функций равен сумме их интегралов. Геометрически: площадь под графиком суммы функций равна сумме площадей под графиками каждой из функций.

  2) $\int_a^b k \cdot f(x) \,dx = k \cdot \int_a^b f(x) \,dx$ (где $\text{k}$ - константа)

  Смысл: Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Геометрически: при растяжении фигуры вдоль оси Oy в $\text{k}$ раз ее площадь также увеличивается в $\text{k}$ раз.

• Аддитивность по отрезку интегрирования:

  $\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^c f(x) \,dx + \int_c^b f(x) \,dx$ (для любого $c \in [a, b]$)

  Смысл: Если отрезок интегрирования разбить на части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям. Геометрически: площадь фигуры можно вычислить как сумму площадей ее частей.

• Смена пределов интегрирования:

  $\int_a^b f(x) \,dx = - \int_b^a f(x) \,dx$

  Смысл: При перестановке верхнего и нижнего пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный.

• Интеграл по отрезку нулевой длины:

  $\int_a^a f(x) \,dx = 0$

  Смысл: Площадь фигуры с нулевой шириной равна нулю.

• Монотонность (сравнение интегралов):

  Если $f(x) \ge g(x)$ для всех $x \in [a, b]$, то $\int_a^b f(x) \,dx \ge \int_a^b g(x) \,dx$.

  Смысл: Если график одной функции лежит не ниже графика другой, то и площадь под первым графиком будет не меньше площади под вторым. В частности, если $f(x) \ge 0$, то $\int_a^b f(x) \,dx \ge 0$ (площадь неотрицательна).

• Оценка интеграла:

  Если $\text{m}$ и $\text{M}$ – наименьшее и наибольшее значения функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$, то $m(b-a) \le \int_a^b f(x) \,dx \le M(b-a)$.

  Смысл: Площадь криволинейной трапеции заключена между площадями двух прямоугольников: одного с высотой, равной минимуму функции, и другого с высотой, равной максимуму функции на данном отрезке.

Ответ: Основные свойства интеграла включают линейность, аддитивность, правило смены пределов, свойство монотонности и возможность оценки. Они описывают, как значение интеграла (площади) изменяется при различных операциях с функцией и пределами.