Номер 1.67, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.67. Постройте график функции $f(x) = \frac{1+x-2x^2}{x+1}$.

Для построения графика функции $f(x) = \frac{1+x-2x^2}{x+1}$ проведем ее полное исследование.

1. Область определения функции

Функция представляет собой дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю. Поэтому $x+1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа, кроме $x = -1$.

Ответ: Область определения функции $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. В точке $x=-1$ функция имеет разрыв.

2. Нахождение асимптот графика

Вертикальная асимптота: Так как при $x = -1$ знаменатель обращается в ноль, а числитель $1+x-2x^2$ при $x=-1$ равен $1+(-1)-2(-1)^2 = -2 \neq 0$, то прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота: Поскольку степень многочлена в числителе (2) на единицу больше степени многочлена в знаменателе (1), у графика есть наклонная асимптота вида $y = kx+b$. Найдем ее, выполнив деление многочлена $-2x^2+x+1$ на $x+1$ столбиком:

$ \frac{-2x^2+x+1}{x+1} = -2x+3 - \frac{2}{x+1} $

Отсюда уравнение наклонной асимптоты: $y = -2x+3$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=-1$. Наклонная асимптота: $y=-2x+3$.

3. Точки пересечения с осями координат

С осью OY: Для этого найдем значение функции при $x=0$. $f(0) = \frac{1+0-2(0)^2}{0+1} = \frac{1}{1} = 1$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 1)$.

С осью OX: Для этого приравняем функцию к нулю: $f(x) = 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю. $1+x-2x^2 = 0$ $2x^2 - x - 1 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$ $x_1 = \frac{1+3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$ $x_2 = \frac{1-3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$ Точки пересечения с осью OX: $(1, 0)$ и $(-0.5, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью OY: $(0, 1)$. Точки пересечения с осью OX: $(-0.5, 0)$ и $(1, 0)$.

4. Исследование на монотонность и экстремумы

Найдем производную функции. Удобнее использовать представление $f(x) = -2x+3 - \frac{2}{x+1}$. $f'(x) = (-2x+3 - 2(x+1)^{-1})' = -2 - 2(-1)(x+1)^{-2} = -2 + \frac{2}{(x+1)^2}$. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $-2 + \frac{2}{(x+1)^2} = 0$ $\frac{2}{(x+1)^2} = 2$ $(x+1)^2 = 1$ $x+1 = 1 \implies x=0$ $x+1 = -1 \implies x=-2$ Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки и точка разрыва делят область определения: $(-\infty, -2)$, $(-2, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, +\infty)$.

• При $x \in (-\infty, -2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-2, -1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1, 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $[-2, -1)$ и $(-1, 0]$ и убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$. Точка локального минимума: $(-2, 9)$. Точка локального максимума: $(0, 1)$.

5. Построение графика

Соберем все полученные данные и построим график:

1. Строим в системе координат асимптоты: вертикальную прямую $x=-1$ и наклонную прямую $y=-2x+3$.
2. Отмечаем точки пересечения с осями: $(1, 0)$, $(-0.5, 0)$, $(0, 1)$.
3. Отмечаем точки экстремумов: минимум $(-2, 9)$ и максимум $(0, 1)$.
4. Рисуем левую ветвь графика (для $x < -1$): она приближается к наклонной асимптоте сверху при $x \to -\infty$, проходит через точку минимума $(-2, 9)$ и уходит на $+\infty$ вдоль вертикальной асимптоты $x=-1$.
5. Рисуем правую ветвь графика (для $x > -1$): она начинается от $-\infty$ вдоль вертикальной асимптоты $x=-1$, проходит через точку $(-0.5, 0)$, достигает максимума в точке $(0, 1)$, пересекает ось OX в точке $(1, 0)$ и приближается к наклонной асимптоте снизу при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, разделенных вертикальной асимптотой $x=-1$. Ветви графика асимптотически приближаются к наклонной асимптоте $y=-2x+3$. Левая ветвь имеет локальный минимум в точке $(-2, 9)$. Правая ветвь имеет локальный максимум в точке $(0, 1)$ и пересекает оси координат в точках $(1, 0)$, $(-0.5, 0)$ и $(0, 1)$.