Номер 1.68, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.68. Найдите область определения функции

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{18x^2 - 3x - 1}}$

Область определения функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{18x^2 - 3x - 1}}$ находится из условия, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля. Это необходимо, так как знаменатель не может быть равен нулю, а выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным.

Таким образом, мы должны решить неравенство:

$18x^2 - 3x - 1 > 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $18x^2 - 3x - 1 = 0$. Для этого вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-1) = 9 + 72 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые мы находим по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 18} = \frac{3 - 9}{36} = \frac{-6}{36} = -\frac{1}{6}$

$x_2 = \frac{3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 18} = \frac{3 + 9}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

Мы решаем неравенство $18x^2 - 3x - 1 > 0$. Графиком квадратичной функции $y=18x^2 - 3x - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен: $18 > 0$). Следовательно, значения функции положительны при $\text{x}$, находящихся вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это объединение интервалов $x < -\frac{1}{6}$ и $x > \frac{1}{3}$. Это и есть область определения функции.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$