Номер 1.62, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.62. Найдите интеграл $\int \sin 2x \cos^4 x dx$.

Для нахождения интеграла $I = \int \sin(2x)\cos^4(x) dx$ мы применим тригонометрические преобразования и метод замены переменной.

1. Упрощение подынтегрального выражения

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Подставим это выражение в интеграл:

$\int \sin(2x)\cos^4(x) dx = \int 2\sin(x)\cos(x) \cdot \cos^4(x) dx$

Объединяем степени косинуса:

$\int 2\sin(x)\cos^5(x) dx = 2\int \sin(x)\cos^5(x) dx$

2. Метод замены переменной

Полученный интеграл удобно решать методом подстановки. Введем новую переменную. Пусть:

$u = \cos(x)$

Найдем дифференциал $du$:

$du = (\cos(x))' dx = -\sin(x) dx$

Отсюда выразим $\sin(x) dx$:

$\sin(x) dx = -du$

3. Вычисление интеграла

Подставим $\text{u}$ и $du$ в наш интеграл:

$2\int \cos^5(x) \sin(x) dx = 2\int u^5 (-du) = -2\int u^5 du$

Теперь вычислим полученный табличный интеграл от степенной функции по формуле $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:

$-2 \cdot \frac{u^{5+1}}{5+1} + C = -2 \cdot \frac{u^6}{6} + C = -\frac{u^6}{3} + C$

Здесь $\text{C}$ — произвольная постоянная интегрирования.

4. Обратная замена

Вернемся к исходной переменной $\text{x}$, выполнив обратную замену $u = \cos(x)$:

$-\frac{u^6}{3} + C = -\frac{(\cos(x))^6}{3} + C = -\frac{1}{3}\cos^6(x) + C$

Ответ: $-\frac{1}{3}\cos^6(x) + C$