Номер 1.64, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.64. Найдите значение производной заданной функции в указанной точке:

1) $y = \frac{x-1}{x+1}$, $x_0 = 2$;

2) $y = x \cdot \sin 2x$, $x_0 = \frac{\pi}{8}$.

1) Дана функция $y = \frac{x-1}{x+1}$ и точка $x_0 = 2$.

Чтобы найти значение производной в указанной точке, сначала найдем производную функции $y'(x)$.

Это функция-частное, поэтому будем использовать правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u = x-1$ и $v = x+1$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x-1)' = 1$

$v' = (x+1)' = 1$

Подставим эти значения в формулу для производной частного:

$y' = \frac{(x-1)'(x+1) - (x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{x+1 - x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 2$, подставив это значение в полученное выражение для $y'$:

$y'(2) = \frac{2}{(2+1)^2} = \frac{2}{3^2} = \frac{2}{9}$

Ответ: $\frac{2}{9}$

2) Дана функция $y = x \cdot \sin(2x)$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{8}$.

Сначала найдем производную функции $y'(x)$.

Это функция-произведение, поэтому будем использовать правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

В нашем случае $u = x$ и $v = \sin(2x)$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x)' = 1$

Для нахождения $v'$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(\sin(kx))' = k \cos(kx)$.

$v' = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$

Подставим эти значения в формулу для производной произведения:

$y' = (x)' \cdot \sin(2x) + x \cdot (\sin(2x))' = 1 \cdot \sin(2x) + x \cdot 2\cos(2x) = \sin(2x) + 2x\cos(2x)$

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{8}$, подставив это значение в полученное выражение для $y'$:

$y'(\frac{\pi}{8}) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) + 2 \cdot \frac{\pi}{8} \cdot \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8})$

Упростим аргументы тригонометрических функций:

$y'(\frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} \cdot \cos(\frac{\pi}{4})$

Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения:

$y'(\frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{8}$

Можно привести к общему знаменателю или вынести общий множитель для упрощения вида:

$y'(\frac{\pi}{8}) = \frac{4\sqrt{2}}{8} + \frac{\pi\sqrt{2}}{8} = \frac{4\sqrt{2} + \pi\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}(4+\pi)}{8}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}(4+\pi)}{8}$