Номер 1.60, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.60. Найдите интеграл методом замены переменной:

1) $\int \frac{\sqrt{1+\sqrt{t}}}{\sqrt{t}} dt;$

2) $\int \sqrt{t}\sqrt{1+t\sqrt{t}} dt.$

1) Для решения интеграла $ \int \frac{\sqrt{1+\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}dt $ воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $ u = 1 + \sqrt{t} $. Тогда найдем дифференциал $du$.

$ du = d(1 + \sqrt{t}) = (1 + t^{1/2})' dt = \frac{1}{2}t^{-1/2} dt = \frac{1}{2\sqrt{t}} dt $.

Из этого выражения получаем, что $ \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2du $.

Подставим новую переменную в исходный интеграл:

$ \int \frac{\sqrt{1+\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}dt = \int \sqrt{u} \cdot 2du = 2 \int u^{1/2} du $.

Теперь найдем интеграл от степенной функции, используя формулу $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $:

$ 2 \int u^{1/2} du = 2 \cdot \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} + C = 2 \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{4}{3} u^{3/2} + C $.

Выполним обратную замену, подставив $ u = 1 + \sqrt{t} $:

$ \frac{4}{3} (1 + \sqrt{t})^{3/2} + C $.

Ответ: $ \frac{4}{3} (1 + \sqrt{t})^{3/2} + C $.

2) Для решения интеграла $ \int \sqrt{t}\sqrt{1+t\sqrt{t}}dt $ также воспользуемся методом замены переменной.

Сначала преобразуем выражение $ t\sqrt{t} = t^1 \cdot t^{1/2} = t^{3/2} $. Тогда интеграл принимает вид: $ \int \sqrt{t}\sqrt{1+t^{3/2}}dt $.

Сделаем замену $ u = 1 + t^{3/2} $. Найдем дифференциал $du$.

$ du = d(1 + t^{3/2}) = (1 + t^{3/2})' dt = \frac{3}{2}t^{3/2-1} dt = \frac{3}{2}t^{1/2} dt = \frac{3}{2}\sqrt{t} dt $.

Отсюда выразим произведение $ \sqrt{t} dt = \frac{2}{3}du $.

Подставим новую переменную в интеграл:

$ \int \sqrt{1+t^{3/2}} (\sqrt{t}dt) = \int \sqrt{u} \cdot \frac{2}{3}du = \frac{2}{3} \int u^{1/2} du $.

Снова воспользуемся формулой для интеграла от степенной функции:

$ \frac{2}{3} \int u^{1/2} du = \frac{2}{3} \cdot \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{2}{3} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{4}{9} u^{3/2} + C $.

Выполним обратную замену, подставив $ u = 1 + t^{3/2} = 1 + t\sqrt{t} $:

$ \frac{4}{9} (1 + t\sqrt{t})^{3/2} + C $.

Ответ: $ \frac{4}{9} (1 + t\sqrt{t})^{3/2} + C $.