Номер 1.55, страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.55. Вычислите интеграл, выбрав подходящий метод:

1) $\int x(2x - 3)^8 dx;$

2) $\int x(1 - 2x)^5 dx;$

3) $\int \frac{1 - x^3}{1 - x} dx;$

4) $\int \frac{x^5 - 3}{x^2} dx.$

1) Для вычисления интеграла $\int x(2x - 3)^8 dx$ используем метод замены переменной.

Пусть $t = 2x - 3$. Тогда $dt = 2dx$, откуда $dx = \frac{dt}{2}$.

Также выразим $\text{x}$ через $\text{t}$: $2x = t + 3$, следовательно $x = \frac{t + 3}{2}$.

Подставим всё в исходный интеграл:

$\int x(2x - 3)^8 dx = \int \frac{t + 3}{2} \cdot t^8 \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{4} \int (t + 3)t^8 dt = \frac{1}{4} \int (t^9 + 3t^8) dt$.

Теперь проинтегрируем полученное выражение, используя правило интегрирования степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$:

$\frac{1}{4} \left(\frac{t^{10}}{10} + 3\frac{t^9}{9}\right) + C = \frac{1}{4} \left(\frac{t^{10}}{10} + \frac{t^9}{3}\right) + C = \frac{t^{10}}{40} + \frac{t^9}{12} + C$.

Вернемся к исходной переменной $\text{x}$, подставив $t = 2x - 3$:

$\frac{(2x - 3)^{10}}{40} + \frac{(2x - 3)^9}{12} + C$.

Ответ: $\frac{(2x - 3)^{10}}{40} + \frac{(2x - 3)^9}{12} + C$.

2) Интеграл $\int x(1 - 2x)^5 dx$ решается аналогично первому, методом замены переменной.

Пусть $t = 1 - 2x$. Тогда $dt = -2dx$, откуда $dx = -\frac{dt}{2}$.

Выразим $\text{x}$ через $\text{t}$: $2x = 1 - t$, следовательно $x = \frac{1 - t}{2}$.

Подставим в интеграл:

$\int x(1 - 2x)^5 dx = \int \frac{1 - t}{2} \cdot t^5 \cdot \left(-\frac{dt}{2}\right) = -\frac{1}{4} \int (1 - t)t^5 dt = -\frac{1}{4} \int (t^5 - t^6) dt$.

Интегрируем:

$-\frac{1}{4} \left(\frac{t^6}{6} - \frac{t^7}{7}\right) + C = -\frac{t^6}{24} + \frac{t^7}{28} + C$.

Производим обратную замену $t = 1 - 2x$:

$\frac{(1 - 2x)^7}{28} - \frac{(1 - 2x)^6}{24} + C$.

Ответ: $\frac{(1 - 2x)^7}{28} - \frac{(1 - 2x)^6}{24} + C$.

3) Для вычисления интеграла $\int \frac{1 - x^3}{1 - x} dx$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $1 - x^3 = (1 - x)(1^2 + 1 \cdot x + x^2) = (1 - x)(1 + x + x^2)$.

Подставим это в подынтегральное выражение:

$\int \frac{(1 - x)(1 + x + x^2)}{1 - x} dx$.

Сократим дробь на $(1 - x)$ (при условии, что $x \neq 1$):

$\int (1 + x + x^2) dx$.

Это интеграл от многочлена, который легко вычислить как сумму интегралов его членов:

$\int 1 dx + \int x dx + \int x^2 dx = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + C$.

Ответ: $x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + C$.

4) Для вычисления интеграла $\int \frac{x^5 - 3}{x^2} dx$ разделим числитель на знаменатель почленно.

$\int \left(\frac{x^5}{x^2} - \frac{3}{x^2}\right) dx = \int (x^3 - 3x^{-2}) dx$.

Теперь воспользуемся свойством линейности интеграла и таблицей интегралов степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int x^3 dx - 3\int x^{-2} dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} - 3\frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^4}{4} - 3\frac{x^{-1}}{-1} + C$.

Упростим выражение:

$\frac{x^4}{4} + 3x^{-1} + C = \frac{x^4}{4} + \frac{3}{x} + C$.

Ответ: $\frac{x^4}{4} + \frac{3}{x} + C$.