Номер 1.56, страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.56. Найдите интеграл методом замены переменной:

1) $\int \cos x \sqrt{\sin x} dx;$

2) $\int \sin x \sqrt{\cos x} dx;$

3) $\int \frac{\sin x}{\sqrt[3]{\cos^2 x}} dx;$

4) $\int \frac{\operatorname{tg} x+1}{\cos^2 x} dx.$

1) Для нахождения интеграла $ \int \cos x \sqrt{\sin x} dx $ воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $ t = \sin x $. Тогда дифференциал $ dt = (\sin x)' dx = \cos x dx $.

Подставим новую переменную в исходный интеграл:

$ \int \sqrt{\sin x} (\cos x dx) = \int \sqrt{t} dt = \int t^{1/2} dt $.

Это табличный интеграл степенной функции:

$ \int t^{1/2} dt = \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}t^{3/2} + C $.

Теперь выполним обратную замену, подставив $ t = \sin x $:

$ \frac{2}{3}(\sin x)^{3/2} + C = \frac{2}{3}\sin x \sqrt{\sin x} + C $.

Ответ: $ \frac{2}{3}(\sin x)^{3/2} + C $.

2) Для нахождения интеграла $ \int \sin x \sqrt{\cos x} dx $ воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $ t = \cos x $. Тогда дифференциал $ dt = (\cos x)' dx = -\sin x dx $, откуда $ \sin x dx = -dt $.

Подставим новую переменную в интеграл:

$ \int \sqrt{\cos x} (\sin x dx) = \int \sqrt{t} (-dt) = -\int t^{1/2} dt $.

Вычислим интеграл:

$ -\int t^{1/2} dt = -\frac{t^{3/2}}{3/2} + C = -\frac{2}{3}t^{3/2} + C $.

Выполним обратную замену, подставив $ t = \cos x $:

$ -\frac{2}{3}(\cos x)^{3/2} + C = -\frac{2}{3}\cos x \sqrt{\cos x} + C $.

Ответ: $ -\frac{2}{3}(\cos x)^{3/2} + C $.

3) Для нахождения интеграла $ \int \frac{\sin x}{\sqrt[3]{\cos^2 x}} dx $ преобразуем подынтегральное выражение и воспользуемся методом замены переменной.

$ \int \frac{\sin x}{\sqrt[3]{\cos^2 x}} dx = \int \sin x (\cos x)^{-2/3} dx $.

Пусть $ t = \cos x $. Тогда $ dt = -\sin x dx $, откуда $ \sin x dx = -dt $.

Подставим новую переменную в интеграл:

$ \int (\cos x)^{-2/3} (\sin x dx) = \int t^{-2/3} (-dt) = -\int t^{-2/3} dt $.

Вычислим интеграл:

$ -\int t^{-2/3} dt = -\frac{t^{-2/3+1}}{-2/3+1} + C = -\frac{t^{1/3}}{1/3} + C = -3t^{1/3} + C $.

Выполним обратную замену, подставив $ t = \cos x $:

$ -3(\cos x)^{1/3} + C = -3\sqrt[3]{\cos x} + C $.

Ответ: $ -3\sqrt[3]{\cos x} + C $.

4) Для нахождения интеграла $ \int \frac{\tg x + 1}{\cos^2 x} dx $ воспользуемся методом замены переменной.

Заметим, что производная $ (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x} $. Это наводит на мысль о подходящей замене.

Пусть $ t = \tg x + 1 $. Тогда дифференциал $ dt = (\tg x + 1)' dx = \frac{1}{\cos^2 x} dx $.

Подставим новую переменную в интеграл:

$ \int (\tg x + 1) \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int t dt $.

Это табличный интеграл:

$ \int t dt = \frac{t^2}{2} + C $.

Выполним обратную замену, подставив $ t = \tg x + 1 $:

$ \frac{(\tg x + 1)^2}{2} + C $.

Ответ: $ \frac{(\tg x + 1)^2}{2} + C $.