Номер 1.57, страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.57. Вычислите интеграл:

1) $\int \sin^3 x dx;$

2) $\int \cos^3 x dx;$

3) $\int \frac{\operatorname{ctg}^4 x}{\sin^2 x} dx;$

4) $\int 7 \frac{\operatorname{tg}^6 x}{\cos^2 x} dx.$

1) $\int \sin^3 x \, dx$

Для вычисления интеграла от нечетной степени синуса, отделим один множитель $\sin x$ и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

$\int \sin^3 x \, dx = \int \sin^2 x \cdot \sin x \, dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x \, dx$.

Применим метод замены переменной. Пусть $t = \cos x$, тогда $dt = -\sin x \, dx$, и, следовательно, $\sin x \, dx = -dt$.

Подставим замену в интеграл:

$\int (1 - t^2) (-dt) = \int (t^2 - 1) \, dt$.

Теперь это табличный интеграл:

$\int (t^2 - 1) \, dt = \frac{t^3}{3} - t + C$.

Выполним обратную замену, подставив $t = \cos x$:

$\frac{\cos^3 x}{3} - \cos x + C$.

Ответ: $\frac{\cos^3 x}{3} - \cos x + C$.

2) $\int \cos^3 x \, dx$

Данный интеграл решается аналогично предыдущему. Отделим один множитель $\cos x$ и воспользуемся тождеством $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

$\int \cos^3 x \, dx = \int \cos^2 x \cdot \cos x \, dx = \int (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$, тогда $dt = \cos x \, dx$.

Подставим замену в интеграл:

$\int (1 - t^2) \, dt$.

Вычислим полученный интеграл:

$\int (1 - t^2) \, dt = t - \frac{t^3}{3} + C$.

Выполним обратную замену, подставив $t = \sin x$:

$\sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C$.

Ответ: $\sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C$.

3) $\int \frac{\operatorname{ctg}^4 x}{\sin^2 x} \, dx$

Для решения этого интеграла применим метод замены переменной. Заметим, что производная функции $\operatorname{ctg} x$ равна $-\frac{1}{\sin^2 x}$.

Пусть $t = \operatorname{ctg} x$. Тогда дифференциал $dt = (\operatorname{ctg} x)' dx = -\frac{1}{\sin^2 x} dx$, откуда следует, что $\frac{dx}{\sin^2 x} = -dt$.

Подставим замену в исходный интеграл:

$\int \operatorname{ctg}^4 x \left(\frac{1}{\sin^2 x} dx\right) = \int t^4 (-dt) = -\int t^4 dt$.

Это степенной интеграл, который легко вычислить:

$-\int t^4 dt = -\frac{t^5}{5} + C$.

Теперь выполним обратную замену $t = \operatorname{ctg} x$:

$-\frac{\operatorname{ctg}^5 x}{5} + C$.

Ответ: $-\frac{\operatorname{ctg}^5 x}{5} + C$.

4) $\int 7 \frac{\operatorname{tg}^6 x}{\cos^2 x} \, dx$

Сначала вынесем константу 7 за знак интеграла:

$7 \int \frac{\operatorname{tg}^6 x}{\cos^2 x} \, dx$.

Этот интеграл также решается методом замены. Производная функции $\operatorname{tg} x$ равна $\frac{1}{\cos^2 x}$.

Пусть $t = \operatorname{tg} x$. Тогда $dt = (\operatorname{tg} x)' dx = \frac{1}{\cos^2 x} dx$.

Подставим замену в интеграл:

$7 \int \operatorname{tg}^6 x \left(\frac{1}{\cos^2 x} dx\right) = 7 \int t^6 dt$.

Вычислим полученный табличный интеграл:

$7 \cdot \frac{t^7}{7} + C = t^7 + C$.

Выполним обратную замену $t = \operatorname{tg} x$:

$\operatorname{tg}^7 x + C$.

Ответ: $\operatorname{tg}^7 x + C$.