Номер 1.50, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.50*. Применяя метод интегрирования по частям, найдите интеграл:

1) $\int x \cos x dx$;

2) $\int x \sin 2x dx$;

3) $\int x \cos 2x dx$.

Для решения всех трех задач используется метод интегрирования по частям, который основан на формуле: $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $. Ключевым моментом является правильный выбор функций $ u $ и $ dv $.

1) Найдем интеграл $ \int x \cos x \, dx $.

В качестве $ u $ выберем многочлен, а в качестве $ dv $ — тригонометрическую функцию.

Пусть $ u = x $, тогда $ du = dx $.

Пусть $ dv = \cos x \, dx $, тогда, проинтегрировав, получим $ v = \int \cos x \, dx = \sin x $.

Теперь подставим полученные выражения в формулу интегрирования по частям:

$ \int x \cos x \, dx = x \cdot \sin x - \int \sin x \, dx $

Оставшийся интеграл является табличным:

$ \int \sin x \, dx = -\cos x $

Подставим его значение и добавим константу интегрирования $ C $:

$ x \sin x - (-\cos x) + C = x \sin x + \cos x + C $

Ответ: $ x \sin x + \cos x + C $

2) Найдем интеграл $ \int x \sin(2x) \, dx $.

Действуем аналогично предыдущему пункту.

Пусть $ u = x $, тогда $ du = dx $.

Пусть $ dv = \sin(2x) \, dx $, тогда $ v = \int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) $.

Подставляем в формулу интегрирования по частям:

$ \int x \sin(2x) \, dx = x \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) - \int \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) \, dx $

Упростим выражение:

$ -\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx $

Найдем оставшийся интеграл:

$ \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2}\sin(2x) $

Подставим результат в наше выражение:

$ -\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) + C = -\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + C $

Ответ: $ -\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + C $

3) Найдем интеграл $ \int x \cos(2x) \, dx $.

Снова применяем тот же метод.

Пусть $ u = x $, тогда $ du = dx $.

Пусть $ dv = \cos(2x) \, dx $, тогда $ v = \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2}\sin(2x) $.

Подставляем в формулу интегрирования по частям:

$ \int x \cos(2x) \, dx = x \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right) - \int \frac{1}{2}\sin(2x) \, dx $

Упростим выражение:

$ \frac{1}{2}x \sin(2x) - \frac{1}{2} \int \sin(2x) \, dx $

Найдем оставшийся интеграл:

$ \int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) $

Подставим результат в наше выражение и добавим константу $ C $:

$ \frac{1}{2}x \sin(2x) - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) + C = \frac{1}{2}x \sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C $

Ответ: $ \frac{1}{2}x \sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C $