Номер 1.45, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.45. Вычислите интеграл:

1) $\int (2 - 9x)^6 dx;$

2) $\int (7 + 5x)^{13} dx;$

3) $\int 6\left(\frac{x}{3}+1\right)^5 dx.$

1) Для вычисления интеграла $\int(2 - 9x)^6 dx$ воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $u = 2 - 9x$. Тогда найдем дифференциал $du = (2 - 9x)' dx = -9 dx$. Отсюда выразим $dx = -\frac{1}{9} du$.

Подставим новую переменную в исходный интеграл:

$\int(2 - 9x)^6 dx = \int u^6 \cdot (-\frac{1}{9} du) = -\frac{1}{9} \int u^6 du$

Теперь вычислим интеграл по таблице степенных функций $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:

$-\frac{1}{9} \int u^6 du = -\frac{1}{9} \cdot \frac{u^{6+1}}{6+1} + C = -\frac{1}{9} \cdot \frac{u^7}{7} + C = -\frac{u^7}{63} + C$

Выполним обратную замену, подставив $u = 2 - 9x$:

$-\frac{(2 - 9x)^7}{63} + C$

Ответ: $-\frac{(2 - 9x)^7}{63} + C$

2) Для вычисления интеграла $\int(7 + 5x)^{13} dx$ также используем метод замены переменной.

Пусть $u = 7 + 5x$. Тогда дифференциал $du = (7 + 5x)' dx = 5 dx$. Отсюда $dx = \frac{1}{5} du$.

Подставляем в интеграл:

$\int(7 + 5x)^{13} dx = \int u^{13} \cdot (\frac{1}{5} du) = \frac{1}{5} \int u^{13} du$

Используем формулу для интеграла степенной функции:

$\frac{1}{5} \int u^{13} du = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^{13+1}}{13+1} + C = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^{14}}{14} + C = \frac{u^{14}}{70} + C$

Производим обратную замену $u = 7 + 5x$:

$\frac{(7 + 5x)^{14}}{70} + C$

Ответ: $\frac{(7 + 5x)^{14}}{70} + C$

3) Для вычисления интеграла $\int 6(\frac{x}{3} + 1)^5 dx$ сначала вынесем константу за знак интеграла.

$6 \int (\frac{x}{3} + 1)^5 dx$

Применим метод замены переменной. Пусть $u = \frac{x}{3} + 1$.

Найдем дифференциал $du = (\frac{x}{3} + 1)' dx = \frac{1}{3} dx$. Отсюда $dx = 3 du$.

Подставляем в интеграл:

$6 \int u^5 \cdot (3 du) = 6 \cdot 3 \int u^5 du = 18 \int u^5 du$

Вычисляем полученный интеграл:

$18 \cdot \frac{u^{5+1}}{5+1} + C = 18 \cdot \frac{u^6}{6} + C = 3u^6 + C$

Делаем обратную замену $u = \frac{x}{3} + 1$:

$3(\frac{x}{3} + 1)^6 + C$

Ответ: $3(\frac{x}{3} + 1)^6 + C$