Номер 1.51, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.51. Найдите общий вид первообразной для функции $f(x)$:

1) $f(x) = \frac{3}{\cos^2 (4x-1)} + 2\sin(3-2x) + 5$;

2) $f(x) = \frac{4}{\sin^2 (3x-2)} + 5\cos(7-4x) - 2$.

1)

Для нахождения общего вида первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$ необходимо найти ее неопределенный интеграл, то есть $F(x) = \int f(x) dx$. Первообразная суммы функций равна сумме первообразных, поэтому мы можем интегрировать каждое слагаемое отдельно:

$F(x) = \int \left(\frac{3}{\cos^2(4x-1)} + 2\sin(3-2x) + 5\right) dx = \int \frac{3}{\cos^2(4x-1)} dx + \int 2\sin(3-2x) dx + \int 5 dx$.

Для нахождения интегралов воспользуемся таблицей первообразных и правилом интегрирования сложной функции вида $g(kx+b)$: $\int g(kx+b)dx = \frac{1}{k}G(kx+b)+C$, где $G(x)$ является первообразной для $g(x)$.

1. Найдем первообразную для первого слагаемого $\frac{3}{\cos^2(4x-1)}$.

Первообразная для функции $g(u) = \frac{1}{\cos^2 u}$ есть $G(u) = \tan u$. В нашем случае аргумент имеет вид $4x-1$, поэтому коэффициент $k=4$.

$\int \frac{3}{\cos^2(4x-1)} dx = 3 \cdot \int \frac{1}{\cos^2(4x-1)} dx = 3 \cdot \frac{1}{4} \tan(4x-1) = \frac{3}{4}\tan(4x-1)$.

2. Найдем первообразную для второго слагаемого $2\sin(3-2x)$.

Первообразная для функции $g(u) = \sin u$ есть $G(u) = -\cos u$. Аргумент равен $3-2x$, следовательно, коэффициент $k=-2$.

$\int 2\sin(3-2x) dx = 2 \cdot \int \sin(3-2x) dx = 2 \cdot \frac{1}{-2} (-\cos(3-2x)) = \cos(3-2x)$.

3. Найдем первообразную для константы $\text{5}$.

$\int 5 dx = 5x$.

Суммируя все найденные первообразные и добавляя произвольную постоянную интегрирования $\text{C}$, получаем общий вид первообразной для исходной функции:

$F(x) = \frac{3}{4}\tan(4x-1) + \cos(3-2x) + 5x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{4}\tan(4x-1) + \cos(3-2x) + 5x + C$.

2)

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{4}{\sin^2(3x-2)} + 5\cos(7-4x) - 2$. Для этого, как и в предыдущем пункте, найдем неопределенный интеграл от каждого слагаемого.

$F(x) = \int \left(\frac{4}{\sin^2(3x-2)} + 5\cos(7-4x) - 2\right) dx = \int \frac{4}{\sin^2(3x-2)} dx + \int 5\cos(7-4x) dx - \int 2 dx$.

1. Найдем первообразную для первого слагаемого $\frac{4}{\sin^2(3x-2)}$.

Первообразная для функции $g(u) = \frac{1}{\sin^2 u}$ есть $G(u) = -\cot u$. В данном случае аргумент равен $3x-2$, значит, коэффициент $k=3$.

$\int \frac{4}{\sin^2(3x-2)} dx = 4 \cdot \int \frac{1}{\sin^2(3x-2)} dx = 4 \cdot \frac{1}{3} (-\cot(3x-2)) = -\frac{4}{3}\cot(3x-2)$.

2. Найдем первообразную для второго слагаемого $5\cos(7-4x)$.

Первообразная для функции $g(u) = \cos u$ есть $G(u) = \sin u$. Аргумент равен $7-4x$, значит, коэффициент $k=-4$.

$\int 5\cos(7-4x) dx = 5 \cdot \int \cos(7-4x) dx = 5 \cdot \frac{1}{-4} \sin(7-4x) = -\frac{5}{4}\sin(7-4x)$.

3. Найдем первообразную для константы $-2$.

$\int (-2) dx = -2x$.

Суммируя все результаты и добавляя произвольную постоянную $\text{C}$, получаем итоговый общий вид первообразной:

$F(x) = -\frac{4}{3}\cot(3x-2) - \frac{5}{4}\sin(7-4x) - 2x + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{4}{3}\cot(3x-2) - \frac{5}{4}\sin(7-4x) - 2x + C$.