Номер 1.54, страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.54*. Найдите интеграл методом замены переменной:

1) $ \int x (x + 1)^3 dx; $

2) $ \int (2x + 1) \sqrt{x - 5} dx; $

3) $ \int \frac{x}{\sqrt{x - 1}} dx; $

4) $ \int \frac{\sqrt{x}}{x + 1} dx. $

1) Для нахождения интеграла $ \int x(x+1)^3 dx $ воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $ t = x+1 $. Отсюда выразим $ x = t-1 $ и найдем дифференциал $ dx = dt $.

Подставим новую переменную в исходный интеграл:

$ \int (t-1)t^3 dt $

Раскроем скобки в подынтегральном выражении:

$ \int (t^4 - t^3) dt $

Теперь найдем интеграл как разность интегралов:

$ \int t^4 dt - \int t^3 dt = \frac{t^5}{5} - \frac{t^4}{4} + C $

Выполним обратную замену, подставив $ t = x+1 $:

$ \frac{(x+1)^5}{5} - \frac{(x+1)^4}{4} + C $

Ответ: $ \frac{(x+1)^5}{5} - \frac{(x+1)^4}{4} + C $.

2) Для нахождения интеграла $ \int (2x+1)\sqrt{x-5} dx $ сделаем замену.

Пусть $ t = \sqrt{x-5} $. Тогда $ t^2 = x-5 $, откуда $ x = t^2+5 $.

Найдем дифференциал: $ dx = (t^2+5)' dt = 2t \, dt $.

Выразим множитель $ (2x+1) $ через новую переменную $ t $:

$ 2x+1 = 2(t^2+5)+1 = 2t^2+10+1 = 2t^2+11 $.

Подставим все полученные выражения в интеграл:

$ \int (2t^2+11) \cdot t \cdot 2t \, dt = \int (4t^4 + 22t^2) dt $

Проинтегрируем полученное выражение:

$ 4\int t^4 dt + 22\int t^2 dt = 4\frac{t^5}{5} + 22\frac{t^3}{3} + C $

Вернемся к исходной переменной $ x $, подставив $ t = \sqrt{x-5} $:

$ \frac{4}{5}(\sqrt{x-5})^5 + \frac{22}{3}(\sqrt{x-5})^3 + C = \frac{4}{5}(x-5)^{5/2} + \frac{22}{3}(x-5)^{3/2} + C $.

Ответ: $ \frac{4}{5}(x-5)^{5/2} + \frac{22}{3}(x-5)^{3/2} + C $.

3) Для нахождения интеграла $ \int \frac{x}{\sqrt{x-1}} dx $ введем замену.

Пусть $ t = \sqrt{x-1} $. Тогда $ t^2 = x-1 $, откуда $ x = t^2+1 $.

Дифференциал $ dx = (t^2+1)' dt = 2t \, dt $.

Подставим в интеграл:

$ \int \frac{t^2+1}{t} \cdot 2t \, dt = \int 2(t^2+1) dt $

Найдем интеграл:

$ 2 \left( \int t^2 dt + \int 1 \, dt \right) = 2 \left( \frac{t^3}{3} + t \right) + C = \frac{2}{3}t^3 + 2t + C $

Сделаем обратную замену $ t = \sqrt{x-1} $:

$ \frac{2}{3}(\sqrt{x-1})^3 + 2\sqrt{x-1} + C $.

Ответ: $ \frac{2}{3}(x-1)\sqrt{x-1} + 2\sqrt{x-1} + C $.

4) Для нахождения интеграла $ \int \sqrt{\frac{x}{x+1}} dx $ сделаем замену переменной.

Пусть $ t = \sqrt{\frac{x}{x+1}} $. Возведем в квадрат: $ t^2 = \frac{x}{x+1} $.

Выразим $ x $ через $ t $:

$ t^2(x+1) = x \Rightarrow t^2x + t^2 = x \Rightarrow t^2 = x(1-t^2) \Rightarrow x = \frac{t^2}{1-t^2} $.

Найдем дифференциал $ dx $, используя правило дифференцирования частного:

$ dx = \frac{(t^2)'(1-t^2) - t^2(1-t^2)'}{(1-t^2)^2} dt = \frac{2t(1-t^2) - t^2(-2t)}{(1-t^2)^2} dt = \frac{2t-2t^3+2t^3}{(1-t^2)^2} dt = \frac{2t}{(1-t^2)^2} dt $.

Подставим в интеграл:

$ \int t \cdot \frac{2t}{(1-t^2)^2} dt = \int \frac{2t^2}{(1-t^2)^2} dt $.

Для вычисления этого интеграла применим метод интегрирования по частям $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $.

Пусть $ u=t $ и $ dv = \frac{2t}{(1-t^2)^2} dt $.

Тогда $ du=dt $, а $ v = \int \frac{2t}{(1-t^2)^2} dt = \frac{1}{1-t^2} $ (этот интеграл находится заменой $ w=1-t^2 $).

Применяем формулу:

$ \int \frac{2t^2}{(1-t^2)^2} dt = t \cdot \frac{1}{1-t^2} - \int \frac{1}{1-t^2} dt = \frac{t}{1-t^2} - \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+t}{1-t} \right| + C $.

Выполним обратную замену. Сначала преобразуем первое слагаемое:

$ 1 - t^2 = 1 - \frac{x}{x+1} = \frac{x+1-x}{x+1} = \frac{1}{x+1} $.

$ \frac{t}{1-t^2} = \sqrt{\frac{x}{x+1}} \cdot (x+1) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} (\sqrt{x+1})^2 = \sqrt{x}\sqrt{x+1} = \sqrt{x(x+1)} $.

Теперь преобразуем выражение под знаком логарифма:

$ \frac{1+t}{1-t} = \frac{1+\sqrt{\frac{x}{x+1}}}{1-\sqrt{\frac{x}{x+1}}} = \frac{\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}}{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}} = \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})^2}{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} = (\sqrt{x+1}+\sqrt{x})^2 $.

Тогда логарифмическая часть равна:

$ \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+t}{1-t} \right| = \frac{1}{2} \ln((\sqrt{x+1}+\sqrt{x})^2) = \ln(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}) $.

Окончательный результат:

$ \sqrt{x(x+1)} - \ln(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}) + C $.

Ответ: $ \sqrt{x(x+1)} - \ln(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}) + C $.