Номер 1.53, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.53. Вычислите интеграл:

1) $\int\left(1+\frac{x}{2}\right)^8 dx;$

2) $\int \frac{ydy}{\sqrt{3y^2+1}};$

3) $\int \frac{3x^2dx}{\sqrt{\left(1-5x^3\right)^3}};$

4) $\int \frac{6x^2dx}{\sqrt{\left(2x^3-1\right)^2}}.$

1)

Для вычисления интеграла $ \int (1 + \frac{x}{2})^8 dx $ используем метод замены переменной.

Пусть $ u = 1 + \frac{x}{2} $. Тогда дифференциал $ du $ равен $ d(1 + \frac{x}{2}) = \frac{1}{2} dx $. Отсюда выразим $ dx = 2 du $.

Подставим замену в интеграл:

$ \int (1 + \frac{x}{2})^8 dx = \int u^8 (2 du) = 2 \int u^8 du $

Это табличный интеграл от степенной функции $ \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C $.

$ 2 \int u^8 du = 2 \cdot \frac{u^{8+1}}{8+1} + C = \frac{2}{9} u^9 + C $

Теперь выполним обратную замену, подставив $ u = 1 + \frac{x}{2} $:

$ \frac{2}{9} (1 + \frac{x}{2})^9 + C $

Ответ: $ \frac{2}{9} (1 + \frac{x}{2})^9 + C $

2)

Для вычисления интеграла $ \int \frac{ydy}{\sqrt{3y^2 + 1}} $ применим метод замены переменной.

Заметим, что производная подкоренного выражения $ (3y^2+1)'=6y $ пропорциональна числителю. Введем замену $ u = 3y^2 + 1 $.

Найдем дифференциал $ du = d(3y^2 + 1) = 6y dy $. Отсюда $ y dy = \frac{du}{6} $.

Подставим в интеграл:

$ \int \frac{ydy}{\sqrt{3y^2 + 1}} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{du}{6} = \frac{1}{6} \int u^{-1/2} du $

Интегрируем как степенную функцию:

$ \frac{1}{6} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{6} \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{6} \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = \frac{1}{6} \cdot 2 u^{1/2} + C = \frac{1}{3} \sqrt{u} + C $

Выполним обратную замену $ u = 3y^2 + 1 $:

$ \frac{1}{3} \sqrt{3y^2 + 1} + C $

Ответ: $ \frac{1}{3} \sqrt{3y^2 + 1} + C $

3)

Для вычисления интеграла $ \int \frac{3x^2 dx}{\sqrt{(1-5x^3)^3}} $ используем метод замены переменной.

Перепишем подынтегральное выражение: $ \int \frac{3x^2 dx}{(1-5x^3)^{3/2}} $.

Пусть $ u = 1-5x^3 $. Тогда дифференциал $ du = d(1-5x^3) = -15x^2 dx $.

Выразим $ 3x^2 dx $: так как $ -15x^2 = -5 \cdot (3x^2) $, то $ 3x^2 dx = -\frac{1}{5} du $.

Подставим замену в интеграл:

$ \int \frac{3x^2 dx}{(1-5x^3)^{3/2}} = \int \frac{1}{u^{3/2}} (-\frac{1}{5} du) = -\frac{1}{5} \int u^{-3/2} du $

Интегрируем как степенную функцию:

$ -\frac{1}{5} \int u^{-3/2} du = -\frac{1}{5} \frac{u^{-3/2+1}}{-3/2+1} + C = -\frac{1}{5} \frac{u^{-1/2}}{-1/2} + C = \frac{2}{5} u^{-1/2} + C = \frac{2}{5\sqrt{u}} + C $

Выполним обратную замену $ u = 1-5x^3 $:

$ \frac{2}{5\sqrt{1-5x^3}} + C $

Ответ: $ \frac{2}{5\sqrt{1-5x^3}} + C $

4)

Для вычисления интеграла $ \int \frac{6x^2 dx}{\sqrt{(2x^3-1)^2}} $ сначала упростим знаменатель.

Выражение $ \sqrt{a^2} $ равно $ |a| $. Таким образом, $ \sqrt{(2x^3-1)^2} = |2x^3-1| $. В контексте introductory calculus, это часто упрощается до $ 2x^3-1 $. Решим задачу с этим упрощением, так как это приводит к стандартному интегралу вида $ \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx $.

Интеграл принимает вид $ \int \frac{6x^2 dx}{2x^3-1} $.

Применим метод замены переменной. Пусть $ u = 2x^3 - 1 $.

Тогда дифференциал $ du = d(2x^3 - 1) = 6x^2 dx $.

Подставим замену в интеграл:

$ \int \frac{6x^2 dx}{2x^3-1} = \int \frac{du}{u} $

Это табличный интеграл, который равен натуральному логарифму модуля:

$ \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C $

Выполним обратную замену $ u = 2x^3 - 1 $:

$ \ln|2x^3 - 1| + C $

Ответ: $ \ln|2x^3 - 1| + C $