Номер 1.46, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.46. Вычислите интеграл:

1) $\int \frac{dx}{\cos^2(2x-1)};$

2) $\int \sin\left(\frac{x}{2}-1\right)dx;$

3) $\int \sin(3-4x)dx;$

4) $\int \cos(3x-2)dx;$

5) $\int \frac{dx}{\sin^2(x-4)};$

6) $\int \frac{dx}{\cos^2(4x+4)};$

7) $\int 3\cos 3xdx.$

1)

Для вычисления интеграла $ \int \frac{dx}{\cos^2(2x-1)} $ воспользуемся методом замены переменной. Это стандартный интеграл вида $ \int \frac{dx}{\cos^2(kx+b)} = \frac{1}{k}\tan(kx+b) + C $.

Пусть $ u = 2x-1 $. Тогда дифференциал $ du = d(2x-1) = (2x-1)' dx = 2 dx $, откуда $ dx = \frac{du}{2} $.

Подставим новую переменную в исходный интеграл:

$ \int \frac{dx}{\cos^2(2x-1)} = \int \frac{\frac{du}{2}}{\cos^2(u)} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{\cos^2(u)} $

Используем табличный интеграл $ \int \frac{du}{\cos^2(u)} = \tan(u) + C $:

$ \frac{1}{2} \int \frac{du}{\cos^2(u)} = \frac{1}{2} \tan(u) + C $

Выполним обратную замену $ u = 2x-1 $, чтобы получить окончательный ответ:

$ \frac{1}{2} \tan(2x-1) + C $

Ответ: $ \frac{1}{2}\tan(2x-1) + C $.

2)

Для вычисления интеграла $ \int \sin(\frac{x}{2}-1) dx $ применим метод замены переменной. Интеграл имеет вид $ \int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b)+C $.

Пусть $ u = \frac{x}{2}-1 $. Тогда дифференциал $ du = d(\frac{x}{2}-1) = (\frac{x}{2}-1)' dx = \frac{1}{2} dx $, откуда $ dx = 2 du $.

Подставляем в интеграл:

$ \int \sin(\frac{x}{2}-1) dx = \int \sin(u) \cdot 2 du = 2 \int \sin(u) du $

Используем табличный интеграл $ \int \sin(u) du = -\cos(u) + C $:

$ 2 \int \sin(u) du = 2(-\cos(u)) + C = -2\cos(u) + C $

Произведем обратную замену $ u = \frac{x}{2}-1 $:

$ -2\cos(\frac{x}{2}-1) + C $

Ответ: $ -2\cos(\frac{x}{2}-1) + C $.

3)

Вычислим интеграл $ \int \sin(3-4x) dx $ методом замены переменной.

Пусть $ u = 3-4x $. Тогда $ du = d(3-4x) = (3-4x)' dx = -4 dx $, откуда $ dx = -\frac{du}{4} $.

Подставляем в интеграл:

$ \int \sin(3-4x) dx = \int \sin(u) \left(-\frac{du}{4}\right) = -\frac{1}{4} \int \sin(u) du $

По таблице интегралов $ \int \sin(u) du = -\cos(u) + C $. Тогда:

$ -\frac{1}{4} (-\cos(u)) + C = \frac{1}{4}\cos(u) + C $

Возвращаемся к исходной переменной, подставляя $ u = 3-4x $:

$ \frac{1}{4}\cos(3-4x) + C $

Ответ: $ \frac{1}{4}\cos(3-4x) + C $.

4)

Для вычисления интеграла $ \int \cos(3x-2) dx $ используем замену переменной. Интеграл имеет вид $ \int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b)+C $.

Пусть $ u = 3x-2 $. Тогда $ du = d(3x-2) = 3 dx $, откуда $ dx = \frac{du}{3} $.

Подставляем в интеграл:

$ \int \cos(3x-2) dx = \int \cos(u) \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \cos(u) du $

Используем табличный интеграл $ \int \cos(u) du = \sin(u) + C $:

$ \frac{1}{3} \int \cos(u) du = \frac{1}{3}\sin(u) + C $

Выполняем обратную замену $ u = 3x-2 $:

$ \frac{1}{3}\sin(3x-2) + C $

Ответ: $ \frac{1}{3}\sin(3x-2) + C $.

5)

Вычислим интеграл $ \int \frac{dx}{\sin^2(x-4)} $ методом замены переменной.

Пусть $ u = x-4 $. Тогда $ du = d(x-4) = dx $.

Подставляем в интеграл:

$ \int \frac{dx}{\sin^2(x-4)} = \int \frac{du}{\sin^2(u)} $

Это табличный интеграл: $ \int \frac{du}{\sin^2(u)} = -\cot(u) + C $.

Выполняем обратную замену $ u = x-4 $:

$ -\cot(x-4) + C $

Ответ: $ -\cot(x-4) + C $.

6)

Вычислим интеграл $ \int \frac{dx}{\cos^2(4x+4)} $ методом замены переменной.

Пусть $ u = 4x+4 $. Тогда $ du = d(4x+4) = 4 dx $, откуда $ dx = \frac{du}{4} $.

Подставляем в интеграл:

$ \int \frac{dx}{\cos^2(4x+4)} = \int \frac{\frac{du}{4}}{\cos^2(u)} = \frac{1}{4} \int \frac{du}{\cos^2(u)} $

По таблице интегралов $ \int \frac{du}{\cos^2(u)} = \tan(u) + C $. Тогда:

$ \frac{1}{4}\tan(u) + C $

Возвращаемся к исходной переменной, подставляя $ u = 4x+4 $:

$ \frac{1}{4}\tan(4x+4) + C $

Ответ: $ \frac{1}{4}\tan(4x+4) + C $.

7)

Для вычисления интеграла $ \int 3\cos(3x) dx $ вынесем константу за знак интеграла и воспользуемся методом подведения под знак дифференциала.

$ \int 3\cos(3x) dx = \int \cos(3x) (3dx) $

Заметим, что $ d(3x) = (3x)'dx = 3dx $. Сделаем замену $ u = 3x $, тогда $ du = 3dx $:

$ \int \cos(u) du $

Это табличный интеграл, который равен $ \sin(u) + C $.

Выполним обратную замену $ u = 3x $:

$ \sin(3x) + C $

Ответ: $ \sin(3x) + C $.