Номер 1.43, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.43. Применяя формулу $\int f(kx+b) dx = \frac{1}{k} F(kx+b)+C$, найдите интеграл от следующей функции:

1) $f(x) = 10\cos9x$;

2) $f(x) = 7\sin4x$;

3) $f(x) = (2x - 3)^6$;

4) $f(x) = (7x - 9)^5$;

5) $f(x) = 2\cos3x$;

6) $f(x) = (3x - 8)^5$;

7) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 4x}$;

8) $f(x) = (3x - 1)^8$;

9) $f(x) = 1 + \cos3x$.

1) Для нахождения интеграла от функции $f(x) = 10\cos9x$, вынесем константу за знак интеграла и применим данную формулу: $\int 10\cos(9x) dx = 10 \int \cos(9x) dx$. В интеграле $\int \cos(9x) dx$ подынтегральная функция имеет вид $f(kx+b)$, где $f(u)=\cos u$, $k=9$ и $b=0$. Первообразная для $f(u)$ есть $F(u) = \sin u$. Применяя формулу $\int f(kx+b)dx = \frac{1}{k}F(kx+b)+C$, получаем: $10 \cdot \frac{1}{9}\sin(9x) + C = \frac{10}{9}\sin(9x) + C$.

Ответ: $\frac{10}{9}\sin(9x) + C$.

2) Найдем интеграл от функции $f(x) = 7\sin4x$: $\int 7\sin(4x) dx = 7 \int \sin(4x) dx$. Для интеграла $\int \sin(4x) dx$ имеем $f(u)=\sin u$, $k=4$, $b=0$. Первообразная $F(u) = -\cos u$. По формуле получаем: $7 \cdot \frac{1}{4}(-\cos(4x)) + C = -\frac{7}{4}\cos(4x) + C$.

Ответ: $-\frac{7}{4}\cos(4x) + C$.

3) Найдем интеграл от функции $f(x) = (2x - 3)^6$: $\int (2x - 3)^6 dx$. Здесь подынтегральная функция имеет вид $f(kx+b)$, где $f(u)=u^6$, $k=2$ и $b=-3$. Первообразная для $f(u)$ есть $F(u) = \frac{u^7}{7}$. Применяя формулу, получаем: $\frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-3)^7}{7} + C = \frac{(2x-3)^7}{14} + C$.

Ответ: $\frac{(2x-3)^7}{14} + C$.

4) Найдем интеграл от функции $f(x) = (7x - 9)^5$: $\int (7x - 9)^5 dx$. Здесь $f(u)=u^5$, $k=7$ и $b=-9$. Первообразная $F(u) = \frac{u^6}{6}$. Применяя формулу, получаем: $\frac{1}{7} \cdot \frac{(7x-9)^6}{6} + C = \frac{(7x-9)^6}{42} + C$.

Ответ: $\frac{(7x-9)^6}{42} + C$.

5) Найдем интеграл от функции $f(x) = 2\cos3x$: $\int 2\cos(3x) dx = 2 \int \cos(3x) dx$. Для интеграла $\int \cos(3x) dx$ имеем $f(u)=\cos u$, $k=3$, $b=0$. Первообразная $F(u) = \sin u$. По формуле получаем: $2 \cdot \frac{1}{3}\sin(3x) + C = \frac{2}{3}\sin(3x) + C$.

Ответ: $\frac{2}{3}\sin(3x) + C$.

6) Найдем интеграл от функции $f(x) = (3x - 8)^5$: $\int (3x - 8)^5 dx$. Здесь $f(u)=u^5$, $k=3$ и $b=-8$. Первообразная $F(u) = \frac{u^6}{6}$. Применяя формулу, получаем: $\frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-8)^6}{6} + C = \frac{(3x-8)^6}{18} + C$.

Ответ: $\frac{(3x-8)^6}{18} + C$.

7) Найдем интеграл от функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 4x}$: $\int \frac{1}{\cos^2 4x} dx$. Здесь $f(u)=\frac{1}{\cos^2 u}$, $k=4$, $b=0$. Первообразная $F(u) = \tan u$. Применяя формулу, получаем: $\frac{1}{4}\tan(4x) + C$.

Ответ: $\frac{1}{4}\tan(4x) + C$.

8) Найдем интеграл от функции $f(x) = (3x - 1)^8$: $\int (3x - 1)^8 dx$. Здесь $f(u)=u^8$, $k=3$ и $b=-1$. Первообразная $F(u) = \frac{u^9}{9}$. Применяя формулу, получаем: $\frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-1)^9}{9} + C = \frac{(3x-1)^9}{27} + C$.

Ответ: $\frac{(3x-1)^9}{27} + C$.

9) Найдем интеграл от функции $f(x) = 1 + \cos3x$. Используем свойство линейности интеграла: $\int (1 + \cos3x) dx = \int 1 dx + \int \cos3x dx$. Интеграл от константы: $\int 1 dx = x$. Для второго слагаемого $\int \cos3x dx$ имеем $f(u)=\cos u$, $k=3$, $b=0$, первообразная $F(u)=\sin u$. По формуле получаем $\frac{1}{3}\sin(3x)$. Суммируя результаты и добавляя константу интегрирования, получаем: $x + \frac{1}{3}\sin(3x) + C$.

Ответ: $x + \frac{1}{3}\sin(3x) + C$.