Номер 1.44, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.44. Вычислите интеграл:

1) $\int (3x + 2)^3 dx$

2) $\int \left(\frac{x}{2} - 1\right)^6 dx$

3) $\int \frac{dx}{(2x-1)^3}$

4) $\int \frac{dx}{(3x+1)^4}$

1) Для вычисления интеграла $\int (3x+2)^3 dx$ используется метод замены переменной. Пусть $t = 3x+2$. Тогда дифференциал $dt = d(3x+2) = (3x+2)'dx = 3dx$. Отсюда следует, что $dx = \frac{1}{3}dt$. Подставим новые переменные в интеграл:

$\int (3x+2)^3 dx = \int t^3 \cdot \frac{1}{3}dt = \frac{1}{3} \int t^3 dt$.

Теперь воспользуемся табличным интегралом для степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$:

$\frac{1}{3} \int t^3 dt = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3+1}}{3+1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^4}{4} + C = \frac{t^4}{12} + C$.

Выполним обратную замену, подставив $t = 3x+2$:

$\frac{(3x+2)^4}{12} + C$.

Ответ: $\frac{(3x+2)^4}{12} + C$.

2) Для вычисления интеграла $\int (\frac{x}{2}-1)^6 dx$ применим метод замены переменной. Пусть $t = \frac{x}{2}-1$. Найдем дифференциал: $dt = d(\frac{x}{2}-1) = (\frac{x}{2}-1)'dx = \frac{1}{2}dx$. Отсюда $dx = 2dt$. Подставим в исходный интеграл:

$\int (\frac{x}{2}-1)^6 dx = \int t^6 \cdot 2dt = 2 \int t^6 dt$.

Интегрируем полученное выражение как степенную функцию:

$2 \int t^6 dt = 2 \cdot \frac{t^{6+1}}{6+1} + C = 2 \frac{t^7}{7} + C$.

Теперь выполним обратную замену $t = \frac{x}{2}-1$:

$\frac{2}{7}(\frac{x}{2}-1)^7 + C$.

Ответ: $\frac{2}{7}(\frac{x}{2}-1)^7 + C$.

3) Вычислим интеграл $\int \frac{dx}{(2x-1)^3}$. Сначала перепишем подынтегральное выражение в виде степени: $\int (2x-1)^{-3} dx$. Применим метод замены переменной. Пусть $t = 2x-1$. Тогда $dt = d(2x-1) = (2x-1)'dx = 2dx$, откуда $dx = \frac{1}{2}dt$. Подставим в интеграл:

$\int (2x-1)^{-3} dx = \int t^{-3} \cdot \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2} \int t^{-3} dt$.

Найдем интеграл от степенной функции:

$\frac{1}{2} \int t^{-3} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4}t^{-2} + C$.

Возвращаемся к переменной $\text{x}$, подставляя $t=2x-1$:

$-\frac{1}{4}(2x-1)^{-2} + C = -\frac{1}{4(2x-1)^2} + C$.

Ответ: $-\frac{1}{4(2x-1)^2} + C$.

4) Вычислим интеграл $\int \frac{dx}{(3x+1)^4}$. Перепишем его в виде $\int (3x+1)^{-4} dx$. Применим метод замены переменной. Пусть $t = 3x+1$. Тогда дифференциал $dt = d(3x+1) = (3x+1)'dx = 3dx$, и $dx = \frac{1}{3}dt$. Подставляем в интеграл:

$\int (3x+1)^{-4} dx = \int t^{-4} \cdot \frac{1}{3}dt = \frac{1}{3} \int t^{-4} dt$.

Используем формулу для интеграла степенной функции:

$\frac{1}{3} \int t^{-4} dt = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{9}t^{-3} + C$.

Производим обратную замену $t = 3x+1$:

$-\frac{1}{9}(3x+1)^{-3} + C = -\frac{1}{9(3x+1)^3} + C$.

Ответ: $-\frac{1}{9(3x+1)^3} + C$.