Вопросы, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите формулу, по которой можно вычислить интеграл методом замены переменной, поясните ее смысл.

2. Напишите формулу, по которой можно вычислить интеграл методом интегрирования по частям, поясните ее смысл.

1. Метод замены переменной (или метод подстановки) используется для упрощения интегралов. Его суть заключается в том, чтобы свести сложный интеграл к более простому или табличному путем введения новой переменной.

Этот метод является обратным действием к правилу дифференцирования сложной функции (цепному правилу). Если подынтегральное выражение можно представить в виде произведения функции $f(g(x))$ и производной ее внутреннего аргумента $g'(x)$, то можно выполнить замену.

Пусть нам нужно вычислить интеграл $\int f(g(x)) g'(x) dx$. Мы вводим новую переменную $\text{t}$, полагая $t = g(x)$. Тогда дифференциал новой переменной будет $dt = g'(x) dx$. Подставляя $\text{t}$ и $dt$ в исходный интеграл, мы получаем новый, более простой интеграл по переменной $\text{t}$: $\int f(t) dt$.

После вычисления этого нового интеграла, необходимо вернуться к исходной переменной $\text{x}$, выполнив обратную замену $t = g(x)$.

Для определенного интеграла формула выглядит так: $\int_a^b f(g(x)) g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t) dt$. Важно отметить, что при замене переменной в определенном интеграле меняются и пределы интегрирования. Новые пределы вычисляются путем подстановки старых пределов $\text{a}$ и $\text{b}$ в выражение для новой переменной $t = g(x)$.

Ответ: $\int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(t) dt$, где $t = g(x)$.

2. Метод интегрирования по частям применяется для вычисления интегралов от произведений функций. Смысл метода заключается в преобразовании исходного интеграла в другой, который, как правило, оказывается проще для вычисления.

Формула интегрирования по частям является следствием правила дифференцирования произведения двух функций: $(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$. Проинтегрировав обе части этого равенства по $\text{x}$, получим:

$\int (uv)' dx = \int u'v dx + \int uv' dx$

$uv = \int v du + \int u dv$

Выразив отсюда $\int u dv$, мы и получаем формулу интегрирования по частям.

Чтобы применить этот метод, подынтегральное выражение нужно разбить на два множителя: $\text{u}$ и $dv$. Выбор $\text{u}$ и $dv$ является ключевым моментом. Необходимо выбрать их так, чтобы:

1) можно было легко найти интеграл от $dv$, то есть функцию $\text{v}$;

2) новый интеграл $\int v du$ был проще исходного $\int u dv$.

Обычно в качестве $\text{u}$ выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании (например, логарифмы, многочлены, обратные тригонометрические функции), а в качестве $dv$ — оставшуюся часть подынтегрального выражения, от которой легко взять интеграл.

Для определенного интеграла формула имеет вид: $\int_a^b u dv = [uv]_a^b - \int_a^b v du = (u(b)v(b) - u(a)v(a)) - \int_a^b v du$.

Ответ: $\int u dv = uv - \int v du$.