Номер 1.36, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Прикладная задача

1.36. Тело массой 10 кг начинает двигаться под действием силы $F = 6Н$. Найдите закон движения тела, если в начальный момент времени ($t=0$) оно находилось в начале координат.

Для того чтобы определить закон движения тела $S(t)$, вычислим ускорение.

По второму закону Ньютона $F = ma \Rightarrow a = \frac{6}{10}\left(\frac{M}{c^2}\right).$ $a = v'(t) \Rightarrow v(t) = \int adt = \frac{3}{5}t + C_1,$ $S(t) = \int v(t)dt = \int \left(\frac{3}{5}t + C\right)dt = \frac{3}{10}t^2 + C_1t + C_2.$

В момент времени $t=0$ тело находилось в начале координат, отсюда $S(0)=0 \Rightarrow \frac{3}{10} \cdot 0^2 + C_1 \cdot 0 + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 0.$

Следовательно, $S(t) = \frac{3}{10}t^2 + C_1t.$

1.36. Для того чтобы найти закон движения тела $S(t)$, необходимо последовательно определить его ускорение, скорость и положение как функции времени. Решение представляет собой задачу на интегрирование, так как известна сила, а требуется найти закон движения.

1. Нахождение ускорения.

Согласно второму закону Ньютона, сила $\text{F}$, масса $\text{m}$ и ускорение $\text{a}$ связаны соотношением $F = ma$. Из условия задачи нам даны: сила $F = 6 \text{ Н}$ и масса $m = 10 \text{ кг}$.

Выразим ускорение из формулы:

$a = \frac{F}{m} = \frac{6 \text{ Н}}{10 \text{ кг}} = \frac{3}{5} \text{ м/с}^2 \text{ (или } 0.6 \text{ м/с}^2\text{).}$

Поскольку действующая сила и масса тела постоянны, ускорение также является постоянной величиной, а движение — равноускоренным.

2. Нахождение скорости.

Ускорение является производной от скорости по времени, то есть $a = v'(t)$. Чтобы найти зависимость скорости от времени $v(t)$, необходимо проинтегрировать функцию ускорения:

$v(t) = \int a \, dt = \int \frac{3}{5} \, dt = \frac{3}{5}t + C_1$,

где $C_1$ — постоянная интегрирования, физический смысл которой — начальная скорость $v_0 = v(0)$.

Из условия задачи известно, что тело "начинает двигаться". Это означает, что его скорость в начальный момент времени $t=0$ была равна нулю, то есть $v(0) = 0$.

Подставим это начальное условие в уравнение для скорости:

$v(0) = \frac{3}{5} \cdot 0 + C_1 = 0 \Rightarrow C_1 = 0$.

Таким образом, уравнение скорости тела имеет вид:

$v(t) = \frac{3}{5}t$.

3. Нахождение закона движения (положения).

Скорость, в свою очередь, является производной от координаты (пройденного пути) по времени: $v(t) = S'(t)$. Чтобы найти закон движения $S(t)$, необходимо проинтегрировать функцию скорости:

$S(t) = \int v(t) \, dt = \int \frac{3}{5}t \, dt = \frac{3}{5} \cdot \frac{t^2}{2} + C_2 = \frac{3}{10}t^2 + C_2$,

где $C_2$ — постоянная интегрирования, имеющая физический смысл начального положения $S_0 = S(0)$.

По условию задачи, в начальный момент времени $t=0$ тело находилось в начале координат. Это означает, что его начальная координата равна нулю: $S(0) = 0$.

Подставим это начальное условие в уравнение для положения:

$S(0) = \frac{3}{10} \cdot 0^2 + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 0$.

Подставив найденные значения констант $C_1$ и $C_2$ в общее уравнение, мы получаем окончательный закон движения тела.

Ответ: $S(t) = \frac{3}{10}t^2$.