Номер 1.31, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.31. Напишите уравнение кривой, проходящей через точку M(0; 7), если угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке кривой, равен $ (3 - \frac{x}{5}) $.

1.31. Пусть искомая кривая задается уравнением $y = f(x)$. Угловой коэффициент касательной в любой точке кривой представляет собой значение производной функции в этой точке, то есть $f'(x)$ или $\frac{dy}{dx}$.

Согласно условию задачи, угловой коэффициент касательной равен $(3 - \frac{x}{5})$. Таким образом, мы можем записать дифференциальное уравнение:

$\frac{dy}{dx} = 3 - \frac{x}{5}$

Чтобы найти уравнение самой кривой $y(x)$, необходимо найти первообразную для выражения $3 - \frac{x}{5}$, то есть проинтегрировать его по $\text{x}$:

$y = \int \left(3 - \frac{x}{5}\right) dx$

Интегрируем по частям:

$y = \int 3 dx - \int \frac{x}{5} dx = 3x - \frac{1}{5} \int x dx$

Используя табличный интеграл $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$y = 3x - \frac{1}{5} \cdot \frac{x^2}{2} + C = 3x - \frac{x^2}{10} + C$

Мы получили общее уравнение для семейства кривых, удовлетворяющих заданному условию на угловой коэффициент. Здесь $\text{C}$ – произвольная постоянная.

Чтобы найти конкретную кривую из этого семейства, воспользуемся условием, что она проходит через точку $M(0; 7)$. Подставим координаты этой точки ($x=0$, $y=7$) в полученное уравнение:

$7 = 3 \cdot 0 - \frac{0^2}{10} + C$

$7 = 0 - 0 + C$

Отсюда находим значение константы: $C = 7$.

Теперь подставим найденное значение $\text{C}$ обратно в общее уравнение кривой, чтобы получить искомое частное решение:

$y = 3x - \frac{x^2}{10} + 7$

Для удобства можно записать уравнение в стандартном виде для квадратичной функции:

$y = -\frac{1}{10}x^2 + 3x + 7$

Ответ: $y = -\frac{1}{10}x^2 + 3x + 7$.