Номер 1.28, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.28. Найдите функцию $y = f(x)$, удовлетворяющую следующему условию:

1) $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $f(9) = 1$;

2) $f''(x) = 6$, $f'(-1) = 2$, $f(-1) = 0$;

3) $f'''(x) = 12x^2 + 2$, угловой коэффициент касательной, проходящей через точку с координатой (1;1), равен 3.

4) $f'(x) = x^2$, прямая $y = 4x + 7$ является касательной к графику функции $y = f(x)$.

1) Чтобы найти функцию $f(x)$, необходимо найти первообразную (проинтегрировать) для ее производной $f'(x)$.

$f(x) = \int f'(x)dx = \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \int x^{-1/2}dx$

Используя формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$f(x) = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$

Теперь используем начальное условие $f(9) = 1$, чтобы найти константу $\text{C}$:

$f(9) = 2\sqrt{9} + C = 1$

$2 \cdot 3 + C = 1$

$6 + C = 1$

$C = 1 - 6 = -5$

Таким образом, искомая функция имеет вид:

Ответ: $f(x) = 2\sqrt{x} - 5$

2) Нам дана вторая производная $f''(x) = 6$. Чтобы найти $f(x)$, мы должны проинтегрировать дважды.

Сначала найдем первую производную $f'(x)$, проинтегрировав $f''(x)$:

$f'(x) = \int f''(x)dx = \int 6 dx = 6x + C_1$

Используем условие $f'(-1) = 2$, чтобы найти константу $C_1$:

$f'(-1) = 6(-1) + C_1 = 2$

$-6 + C_1 = 2$

$C_1 = 8$

Итак, $f'(x) = 6x + 8$.

Теперь найдем функцию $f(x)$, проинтегрировав $f'(x)$:

$f(x) = \int f'(x)dx = \int (6x + 8)dx = 6\frac{x^2}{2} + 8x + C_2 = 3x^2 + 8x + C_2$

Используем условие $f(-1) = 0$, чтобы найти константу $C_2$:

$f(-1) = 3(-1)^2 + 8(-1) + C_2 = 0$

$3(1) - 8 + C_2 = 0$

$3 - 8 + C_2 = 0$

$-5 + C_2 = 0$

$C_2 = 5$

Таким образом, искомая функция имеет вид:

Ответ: $f(x) = 3x^2 + 8x + 5$

3) Условия задачи можно переформулировать следующим образом: нам дана $f''(x) = 12x^2 + 2$. Касательная, проходящая через точку с координатой $(1;1)$, означает, что график функции $y=f(x)$ проходит через точку $(1;1)$, то есть $f(1)=1$. Угловой коэффициент касательной в этой точке равен 3, что означает $f'(1) = 3$.

Сначала найдем $f'(x)$, проинтегрировав $f''(x)$:

$f'(x) = \int (12x^2 + 2)dx = 12\frac{x^3}{3} + 2x + C_1 = 4x^3 + 2x + C_1$

Используем условие $f'(1) = 3$:

$f'(1) = 4(1)^3 + 2(1) + C_1 = 3$

$4 + 2 + C_1 = 3$

$6 + C_1 = 3$

$C_1 = -3$

Итак, $f'(x) = 4x^3 + 2x - 3$.

Теперь найдем $f(x)$, проинтегрировав $f'(x)$:

$f(x) = \int (4x^3 + 2x - 3)dx = 4\frac{x^4}{4} + 2\frac{x^2}{2} - 3x + C_2 = x^4 + x^2 - 3x + C_2$

Используем условие $f(1) = 1$:

$f(1) = 1^4 + 1^2 - 3(1) + C_2 = 1$

$1 + 1 - 3 + C_2 = 1$

$-1 + C_2 = 1$

$C_2 = 2$

Таким образом, искомая функция имеет вид:

Ответ: $f(x) = x^4 + x^2 - 3x + 2$

4) Прямая $y = 4x + 7$ является касательной к графику функции $y = f(x)$. Это означает, что в точке касания $x_0$ выполняются два условия:

1. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в этой точке: $f'(x_0) = 4$.

2. Значения функции и касательной в этой точке совпадают: $f(x_0) = 4x_0 + 7$.

По условию $f'(x) = x^2$. Из первого условия получаем: $x_0^2 = 4$, откуда $x_0 = 2$ или $x_0 = -2$.

Найдем общий вид функции $f(x)$, проинтегрировав $f'(x)$:

$f(x) = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$

Теперь рассмотрим два возможных случая для точки касания.

Случай 1: $x_0 = 2$.

Используем второе условие $f(2) = 4(2) + 7 = 15$. Подставим $x=2$ в выражение для $f(x)$:

$f(2) = \frac{2^3}{3} + C = \frac{8}{3} + C$

Приравниваем: $\frac{8}{3} + C = 15$.

$C = 15 - \frac{8}{3} = \frac{45 - 8}{3} = \frac{37}{3}$.

В этом случае функция: $f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{37}{3}$.

Случай 2: $x_0 = -2$.

Используем второе условие $f(-2) = 4(-2) + 7 = -1$. Подставим $x=-2$ в выражение для $f(x)$:

$f(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + C = -\frac{8}{3} + C$

Приравниваем: $-\frac{8}{3} + C = -1$.

$C = -1 + \frac{8}{3} = \frac{-3 + 8}{3} = \frac{5}{3}$.

В этом случае функция: $f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{3}$.

Задача имеет два возможных решения.

Ответ: $f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{37}{3}$ или $f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{3}$