Номер 1.22, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.22. Вычислите:

1) $\int \left(1 + \frac{3}{2t^2}\right) dt$;

2) $\int t \left(\frac{2}{t} + \frac{t}{2}\right) dt$.

1)

Для вычисления данного неопределенного интеграла воспользуемся свойством линейности (интеграл суммы равен сумме интегралов) и таблицей основных интегралов.

Исходный интеграл: $ \int \left(1 + \frac{3}{2t^2}\right) dt $.

Разложим интеграл на сумму двух интегралов:

$ \int \left(1 + \frac{3}{2t^2}\right) dt = \int 1 dt + \int \frac{3}{2t^2} dt $.

Вычислим каждый интеграл по отдельности.

Первый интеграл является табличным: $ \int 1 dt = t $.

Для второго интеграла вынесем константу $ \frac{3}{2} $ за знак интеграла и представим подынтегральную функцию в виде степени $ t^{-2} $:

$ \int \frac{3}{2t^2} dt = \frac{3}{2} \int \frac{1}{t^2} dt = \frac{3}{2} \int t^{-2} dt $.

Применим формулу для интегрирования степенной функции $ \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C $, где $ n = -2 $:

$ \frac{3}{2} \int t^{-2} dt = \frac{3}{2} \cdot \frac{t^{-2+1}}{-2+1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{t^{-1}}{-1} = -\frac{3}{2} t^{-1} = -\frac{3}{2t} $.

Теперь сложим результаты и добавим произвольную постоянную интегрирования $ C $:

$ \int \left(1 + \frac{3}{2t^2}\right) dt = t - \frac{3}{2t} + C $.

Ответ: $ t - \frac{3}{2t} + C $.

2)

Для вычисления данного интеграла сначала упростим подынтегральное выражение, а затем воспользуемся свойством линейности и таблицей интегралов.

Исходный интеграл: $ \int t \left(\frac{2}{t} + \frac{t}{2}\right) dt $.

Раскроем скобки в подынтегральном выражении:

$ t \left(\frac{2}{t} + \frac{t}{2}\right) = t \cdot \frac{2}{t} + t \cdot \frac{t}{2} = 2 + \frac{t^2}{2} $.

Теперь интеграл принимает вид:

$ \int \left(2 + \frac{t^2}{2}\right) dt $.

Используя свойство линейности, разложим интеграл на сумму двух интегралов:

$ \int \left(2 + \frac{t^2}{2}\right) dt = \int 2 dt + \int \frac{t^2}{2} dt $.

Вычислим каждый интеграл по отдельности, используя табличные интегралы и формулу для степенной функции:

$ \int 2 dt = 2 \int dt = 2t $.

$ \int \frac{t^2}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^2 dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^3}{3} = \frac{t^3}{6} $.

Сложим полученные результаты и добавим произвольную постоянную интегрирования $ C $:

$ \int t \left(\frac{2}{t} + \frac{t}{2}\right) dt = 2t + \frac{t^3}{6} + C $.

Ответ: $ 2t + \frac{t^3}{6} + C $.