Номер 1.16, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В задачах 1.13-1.16 дается график производной $y = f'(x)$ функции $y = f(x)$. Постройте два варианта графика функции $y = f(x)$. По графику производной найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$.

1.16. $y = f'(x)$

Для решения задачи проанализируем предоставленный график производной $y = f'(x)$.

Анализ графика производной $y=f'(x)$

1. Знак производной: График $y=f'(x)$ полностью расположен выше оси абсцисс (оси $\text{x}$). Это означает, что $f'(x) > 0$ для всех значений $\text{x}$ из области определения.

2. Область определения: График имеет вертикальную асимптоту при $x=0$. Следовательно, производная не определена в точке $x=0$. Область определения $f'(x)$ — это $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

3. Монотонность производной:

   • На промежутке $(-\infty, 0)$ график $f'(x)$ убывает. Это означает, что вторая производная $f''(x) < 0$, и, следовательно, функция $f(x)$ на этом промежутке является вогнутой (выпуклой вверх).
   • На промежутке $(0, +\infty)$ график $f'(x)$ возрастает. Это означает, что $f''(x) > 0$, и функция $f(x)$ на этом промежутке является выпуклой (вогнутой вниз).

4. Поведение в особых точках:

   • При $x \to 0$ (справа и слева), $f'(x) \to +\infty$. Это указывает на то, что у графика функции $y=f(x)$ в точке $x=0$ будет вертикальная касательная.
   • При $x \to \pm\infty$, $f'(x) \to 0$. Это означает, что касательные к графику $y=f(x)$ становятся всё более пологими, приближаясь к горизонтальному положению.

Промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$

Функция $y=f(x)$ возрастает на тех промежутках, где её производная $f'(x) > 0$, и убывает там, где $f'(x) < 0$.

Из анализа графика производной мы видим, что $f'(x) > 0$ на всей области определения, то есть на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

Так как производная нигде не отрицательна, у функции нет промежутков убывания.

Ответ: Функция $y=f(x)$ возрастает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Промежутков убывания нет.

Два варианта графика функции $y=f(x)$

Основываясь на проведенном анализе, мы можем построить эскиз графика функции $y=f(x)$.

• Функция возрастает на $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.
• В точке $x=0$ имеется точка перегиба с вертикальной касательной.
• При $x < 0$ функция вогнутая (выпуклая вверх).
• При $x > 0$ функция выпуклая (вогнутая вниз).

Этим свойствам удовлетворяет, например, функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ или любая функция вида $f(x) = k \cdot \sqrt[3]{x}$ при $k>0$. Производная такой функции $f'(x) = \frac{k}{3\sqrt[3]{x^2}}$ полностью соответствует заданному графику.

Поскольку первообразная определяется с точностью до константы, все возможные графики функции $f(x)$ могут быть получены из одного с помощью параллельного переноса вдоль оси $\text{y}$. То есть, если $F(x)$ — одна из первообразных, то любая другая имеет вид $F(x) + C$, где $\text{C}$ — константа.

Ниже представлены два возможных варианта графика $y=f(x)$, например, для $f(x) = \sqrt[3]{x}$ и $f(x) = \sqrt[3]{x} + 2$.

Вариант 1: $y = f(x)$

Вариант 2: $y = f(x) + C$ (например, $C=2$)

Ответ: Эскизы графиков, представляющих собой функцию типа "кубический корень", сдвинутые друг относительно друга по вертикали, представлены выше.