Номер 1.18, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.18. Найдите интеграл:

1) $\int \frac{y^6 + 8y^4}{y} dy$

2) $\int (\sqrt{y} + 1)(\sqrt{y} - 1) dy$

1) Для нахождения данного интеграла сначала упростим подынтегральное выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:

$ \int \frac{y^6 + 8y^4}{y} dy = \int (\frac{y^6}{y} + \frac{8y^4}{y}) dy = \int (y^5 + 8y^3) dy $

Теперь воспользуемся свойством линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов):

$ \int (y^5 + 8y^3) dy = \int y^5 dy + \int 8y^3 dy $

Применим формулу для интеграла степенной функции $ \int y^n dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C $:

$ \int y^5 dy = \frac{y^{5+1}}{5+1} = \frac{y^6}{6} $

$ \int 8y^3 dy = 8 \int y^3 dy = 8 \cdot \frac{y^{3+1}}{3+1} = 8 \cdot \frac{y^4}{4} = 2y^4 $

Сложим полученные результаты и добавим константу интегрирования $\text{C}$:

$ \frac{y^6}{6} + 2y^4 + C $

Ответ: $ \frac{y^6}{6} + 2y^4 + C $

2) Для нахождения данного интеграла сначала упростим подынтегральное выражение. Заметим, что оно представляет собой произведение разности и суммы, что соответствует формуле разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.

В нашем случае $ a = \sqrt{y} $ и $ b = 1 $:

$ (\sqrt{y}+1)(\sqrt{y}-1) = (\sqrt{y})^2 - 1^2 = y - 1 $

Таким образом, интеграл принимает вид:

$ \int (y-1) dy $

Воспользуемся свойством линейности интеграла (интеграл разности равен разности интегралов):

$ \int (y-1) dy = \int y dy - \int 1 dy $

Применим формулу для интеграла степенной функции $ \int y^n dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C $ и интеграл от константы:

$ \int y dy = \frac{y^{1+1}}{1+1} = \frac{y^2}{2} $

$ \int 1 dy = y $

Вычтем второе из первого и добавим константу интегрирования $\text{C}$:

$ \frac{y^2}{2} - y + C $

Ответ: $ \frac{y^2}{2} - y + C $