Номер 1.11, страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.11. Найдите первообразную для функции $y = f(x)$, график которой проходит через точку $\text{M}$:

1) $f(x) = 6x^2 - 2x - 5$, $M(1;-6)$;

2) $f(x) = \sqrt{x}$, $M(1;1)$;

3) $f(x) = \sqrt{x} + 2\sqrt[3]{x}$, $M(1;1,5)$.

1)

Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, график которой проходит через заданную точку $M(x_0, y_0)$, необходимо выполнить два шага. Сначала найти множество всех первообразных (общего вида), а затем из этого множества выбрать ту, которая удовлетворяет условию прохождения через точку $\text{M}$.

Дана функция $f(x) = 6x^2 - 2x - 5$ и точка $M(1; -6)$.

1. Найдём общую первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, вычислив неопределённый интеграл:

$F(x) = \int (6x^2 - 2x - 5) dx = \int 6x^2 dx - \int 2x dx - \int 5 dx$

Используя табличную формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + C = 2x^3 - x^2 - 5x + C$, где $\text{C}$ — произвольная константа.

2. Теперь найдём значение константы $\text{C}$, используя условие, что график первообразной проходит через точку $M(1; -6)$. Это значит, что при $x=1$ значение первообразной $F(1)$ должно быть равно -6.

Подставим координаты точки $\text{M}$ в уравнение для $F(x)$:

$F(1) = 2(1)^3 - (1)^2 - 5(1) + C = -6$

$2 - 1 - 5 + C = -6$

$-4 + C = -6$

$C = -6 + 4 = -2$

3. Подставим найденное значение $C = -2$ в общую формулу первообразной, чтобы получить искомую первообразную:

$F(x) = 2x^3 - x^2 - 5x - 2$.

Ответ: $F(x) = 2x^3 - x^2 - 5x - 2$.

2)

Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$ и точка $M(1; 1)$.

1. Сначала найдём общую первообразную. Для этого представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{1/2}$.

$F(x) = \int x^{1/2} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

2. Используем координаты точки $M(1; 1)$, чтобы найти константу $\text{C}$. Условие $F(1) = 1$:

$F(1) = \frac{2}{3}(1)^{3/2} + C = 1$

$\frac{2}{3} \cdot 1 + C = 1$

$C = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

3. Подставляем $C = 1/3$ в общую формулу первообразной:

$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{1}{3}$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{1}{3}$.

3)

Дана функция $f(x) = \sqrt{x} + 2\sqrt[3]{x}$ и точка $M(1; 1,5)$.

1. Представим функцию в виде суммы степеней: $f(x) = x^{1/2} + 2x^{1/3}$. Найдём общую первообразную:

$F(x) = \int (x^{1/2} + 2x^{1/3}) dx = \int x^{1/2} dx + 2\int x^{1/3} dx$

$F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + 2 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} + C$

$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + 2 \cdot \frac{3}{4}x^{4/3} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} + C$.

2. Используем координаты точки $M(1; 1,5)$, чтобы найти константу $\text{C}$. Условие $F(1) = 1,5$ (или $F(1) = 3/2$):

$F(1) = \frac{2}{3}(1)^{3/2} + \frac{3}{2}(1)^{4/3} + C = 1,5$

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 1 + C = \frac{3}{2}$

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + C = \frac{3}{2}$

Вычтем $\frac{3}{2}$ из обеих частей уравнения:

$\frac{2}{3} + C = 0$

$C = -\frac{2}{3}$

3. Подставляем $C = -2/3$ в общую формулу первообразной:

$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} - \frac{2}{3}$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} - \frac{2}{3}$.