Номер 1.13, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В задачах 1.13-1.16 дается график производной $y = f'(x)$ функции $y = f(x)$. Постройте два варианта графика функции $y = f(x)$. По графику производной найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$.

1.13.

Промежутки возрастания и убывания функции $y=f(x)$

Для определения промежутков возрастания и убывания функции $y = f(x)$ используется ее производная $y = f'(x)$. Функция $f(x)$ возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна ($f'(x) > 0$), и убывает на тех, где ее производная отрицательна ($f'(x) < 0$).

На представленном графике изображена функция $y = f'(x)$. Это горизонтальная прямая, проходящая через значение $y=4$. Следовательно, для любого действительного числа $\text{x}$ значение производной постоянно и равно 4. $f'(x) = 4$.

Поскольку $f'(x) = 4 > 0$ при всех значениях $\text{x}$, функция $y = f(x)$ является возрастающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Так как производная $f'(x)$ никогда не принимает отрицательных значений, у функции $y = f(x)$ нет промежутков убывания.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$; промежутков убывания нет.

Построение двух вариантов графика функции $y=f(x)$

Функция $y = f(x)$ является первообразной для своей производной $y = f'(x)$. Чтобы найти общий вид функции $f(x)$, нужно проинтегрировать ее производную: $f(x) = \int f'(x)dx = \int 4 dx = 4x + C$, где $\text{C}$ — произвольная постоянная.

Таким образом, графиком функции $y = f(x)$ является любая прямая с угловым коэффициентом (наклоном) $k=4$. Постоянная $\text{C}$ отвечает за сдвиг графика вдоль оси ординат (оси $\text{y}$) и соответствует значению функции в точке $x=0$.

Для построения двух вариантов графика достаточно выбрать два различных значения для константы $\text{C}$.

Вариант 1. Пусть $C = 1$. Тогда функция имеет вид $y = 4x + 1$. Это прямая, проходящая через точку $(0, 1)$ на оси $\text{y}$ и, например, через точку $(1, 5)$.

Вариант 2. Пусть $C = -3$. Тогда функция имеет вид $y = 4x - 3$. Это прямая, параллельная первой, но проходящая через точку $(0, -3)$ на оси $\text{y}$ и, например, через точку $(1, 1)$.

Ответ: графиками функции $y=f(x)$ являются прямые вида $y = 4x+C$. В качестве двух примеров можно привести $y=4x+1$ и $y=4x-3$.