Номер 1.7, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.7. Заполните таблицу.

Заданный интеграл

Преобразуйте

Найдите интеграл

Упростите

$\int \left(\frac{7}{x^2} - x + 1\right) dx$

=

=

=

$\int \frac{x^5 - 3}{x^2} dx$

=

=

=

$\int \frac{x^3 - 8}{2 - x} dx$

=

=

=

$∫(\frac{7}{x^2} - x + 1)dx$

Преобразуйте:Для удобства интегрирования представим подынтегральное выражение в виде суммы степенных функций: $7x^{-2} - x + 1$. Интеграл принимает вид $∫(7x^{-2} - x + 1)dx$.

Найдите интеграл:Используя свойство линейности и формулу для интеграла степенной функции $∫x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, находим: $7 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} - \frac{x^{1+1}}{1+1} + x + C = -7x^{-1} - \frac{x^2}{2} + x + C$.

Упростите:Заменяя $x^{-1}$ на $\frac{1}{x}$, получаем итоговое выражение.

Ответ: $-\frac{7}{x} - \frac{x^2}{2} + x + C$

$∫\frac{x^5 - 3}{x^2}dx$

Преобразуйте:Разделим почленно числитель на знаменатель, чтобы упростить подынтегральное выражение: $\frac{x^5 - 3}{x^2} = \frac{x^5}{x^2} - \frac{3}{x^2} = x^3 - 3x^{-2}$. Интеграл принимает вид $∫(x^3 - 3x^{-2})dx$.

Найдите интеграл:Интегрируем полученное выражение как сумму двух степенных функций: $\frac{x^{3+1}}{3+1} - 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^4}{4} - 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{x^4}{4} + 3x^{-1} + C$.

Упростите:Перепишем результат без отрицательной степени, заменив $x^{-1}$ на $\frac{1}{x}$.

Ответ: $\frac{x^4}{4} + \frac{3}{x} + C$

$∫\frac{x^3 - 8}{2 - x}dx$

Преобразуйте:Разложим числитель $x^3 - 8$ на множители как разность кубов: $x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. Затем сократим дробь: $\frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{2 - x} = \frac{-(2 - x)(x^2 + 2x + 4)}{2 - x} = -(x^2 + 2x + 4)$. Интеграл преобразуется к виду $∫-(x^2 + 2x + 4)dx$.

Найдите интеграл:Выносим знак минус за знак интеграла и интегрируем многочлен: $-(\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + 4x) + C = -(\frac{x^3}{3} + x^2 + 4x) + C$.

Упростите:Раскроем скобки, чтобы получить окончательный ответ.

Ответ: $-\frac{x^3}{3} - x^2 - 4x + C$