Номер 1.1, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.1. Найдите первообразную для данной функции (устное задание):

1) $f(x) = 8x^7$;

2) $f(x) = 4x^3$;

3) $f(x) = 8x + 1$;

4) $f(x) = -5x^4$;

5) $f(x) = -11 + \sin x$;

6) $f(x) = 5x - 4$;

7) $f(x) = \frac{3}{5}x^2$;

8) $f(x) = 5x\sqrt{x}$;

9) $f(x) = 4x^3 - 5\cos x + 7x$;

10) $f(x) = \frac{1}{6}x^3$;

11) $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x}}$;

12) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2x}$;

13) $f(x) = x^3 - 3x^5 + \sin x$;

14) $f(x) = 5 - \cos x$;

15) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} + 5$;

16) $f(x) = 3 - 4x + \sin x$;

17) $f(x) = 2 - 6x^4 + 3x$;

18) $f(x) = 3 + \sin x$;

19) $f(x) = 1 - 2\cos x$;

20) $f(x) = 4x^6 - 5x^3 + 3$.

1) Для нахождения первообразной функции $f(x) = 8x^7$ используется правило для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Применяя это правило, получаем: $F(x) = \int 8x^7 dx = 8 \cdot \frac{x^{7+1}}{7+1} + C = 8 \cdot \frac{x^8}{8} + C = x^8 + C$.

Ответ: $F(x) = x^8 + C$.

2) Для функции $f(x) = 4x^3$ первообразная находится аналогично, с использованием правила для степенной функции: $F(x) = \int 4x^3 dx = 4 \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 4 \frac{x^4}{4} + C = x^4 + C$.

Ответ: $F(x) = x^4 + C$.

3) Для функции $f(x) = 8x + 1$ используется правило интегрирования суммы функций: $F(x) = \int (8x + 1) dx = \int 8x dx + \int 1 dx = 8 \frac{x^2}{2} + x + C = 4x^2 + x + C$.

Ответ: $F(x) = 4x^2 + x + C$.

4) Для функции $f(x) = -5x^4$ применяем правило для степенной функции: $F(x) = \int -5x^4 dx = -5 \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = -5 \frac{x^5}{5} + C = -x^5 + C$.

Ответ: $F(x) = -x^5 + C$.

5) Для функции $f(x) = -11 + \sin x$ используем правило интегрирования суммы и табличные интегралы для константы и синуса ($\int \sin x dx = -\cos x + C$): $F(x) = \int (-11 + \sin x) dx = -11x - \cos x + C$.

Ответ: $F(x) = -11x - \cos x + C$.

6) Для функции $f(x) = 5x - 4$ находим первообразную как интеграл от разности: $F(x) = \int (5x - 4) dx = \int 5x dx - \int 4 dx = 5 \frac{x^2}{2} - 4x + C = \frac{5}{2}x^2 - 4x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{5}{2}x^2 - 4x + C$.

7) Для функции $f(x) = \frac{3}{5}x^2$ применяем правило для степенной функции: $F(x) = \int \frac{3}{5}x^2 dx = \frac{3}{5} \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{3}{5} \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^3}{5} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{5} + C$.

8) Сначала преобразуем функцию: $f(x) = 5x\sqrt{x} = 5x^1 \cdot x^{1/2} = 5x^{3/2}$. Теперь находим первообразную: $F(x) = \int 5x^{3/2} dx = 5 \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} + C = 5 \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = 5 \cdot \frac{2}{5} x^{5/2} + C = 2x^{5/2} + C$. Результат можно записать как $2x^2\sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = 2x^2\sqrt{x} + C$.

9) Для функции $f(x) = 4x^3 - 5\cos x + 7x$ интегрируем каждое слагаемое отдельно, используя табличные интегралы ($\int \cos x dx = \sin x + C$): $F(x) = \int (4x^3 - 5\cos x + 7x) dx = 4\frac{x^4}{4} - 5\sin x + 7\frac{x^2}{2} + C = x^4 - 5\sin x + \frac{7}{2}x^2 + C$.

Ответ: $F(x) = x^4 - 5\sin x + \frac{7}{2}x^2 + C$.

10) Для функции $f(x) = \frac{1}{6}x^3$ находим первообразную: $F(x) = \int \frac{1}{6}x^3 dx = \frac{1}{6} \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{1}{6} \frac{x^4}{4} + C = \frac{x^4}{24} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{24} + C$.

11) Сначала упростим выражение для функции: $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x}} = \frac{x^2}{x^{1/2}} = x^{2 - 1/2} = x^{3/2}$. Теперь находим первообразную: $F(x) = \int x^{3/2} dx = \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} + C = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + C$. Результат можно записать как $\frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + C$.

12) Упростим функцию: $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2x} = \frac{x^{1/2}}{2x^1} = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$. Находим первообразную: $F(x) = \int \frac{1}{2}x^{-1/2} dx = \frac{1}{2} \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{2} \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^{1/2} + C = \sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + C$.

13) Для функции $f(x) = x^8 - 3x^5 + \sin x$ интегрируем почленно: $F(x) = \int (x^8 - 3x^5 + \sin x) dx = \frac{x^{8+1}}{8+1} - 3\frac{x^{5+1}}{5+1} - \cos x + C = \frac{x^9}{9} - 3\frac{x^6}{6} - \cos x + C = \frac{x^9}{9} - \frac{x^6}{2} - \cos x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^9}{9} - \frac{x^6}{2} - \cos x + C$.

14) Для функции $f(x) = 5 - \cos x$ находим первообразную, используя табличные интегралы: $F(x) = \int (5 - \cos x) dx = 5x - \sin x + C$.

Ответ: $F(x) = 5x - \sin x + C$.

15) Для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} + 5$ используем табличный интеграл для $\frac{1}{\cos^2 x}$ ($\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$) и правило интегрирования суммы: $F(x) = \int (\frac{1}{\cos^2 x} + 5) dx = \tan x + 5x + C$.

Ответ: $F(x) = \tan x + 5x + C$.

16) Интегрируем функцию $f(x) = 3 - 4x + \sin x$ почленно: $F(x) = \int (3 - 4x + \sin x) dx = 3x - 4\frac{x^2}{2} - \cos x + C = 3x - 2x^2 - \cos x + C$.

Ответ: $F(x) = 3x - 2x^2 - \cos x + C$.

17) Для функции $f(x) = 2 - 6x^4 + 3x$ найдем первообразную, проинтегрировав каждое слагаемое: $F(x) = \int (2 - 6x^4 + 3x) dx = 2x - 6\frac{x^5}{5} + 3\frac{x^2}{2} + C$. Расположив слагаемые по убыванию степеней $\text{x}$, получаем $F(x) = -\frac{6}{5}x^5 + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{6}{5}x^5 + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C$.

18) Для функции $f(x) = 3 + \sin x$ находим первообразную: $F(x) = \int (3 + \sin x) dx = 3x - \cos x + C$.

Ответ: $F(x) = 3x - \cos x + C$.

19) Для функции $f(x) = 1 - 2\cos x$ находим первообразную: $F(x) = \int (1 - 2\cos x) dx = x - 2\sin x + C$.

Ответ: $F(x) = x - 2\sin x + C$.

20) Для функции $f(x) = 4x^6 - 5x^3 + 3$ интегрируем почленно: $F(x) = \int (4x^6 - 5x^3 + 3) dx = 4\frac{x^7}{7} - 5\frac{x^4}{4} + 3x + C = \frac{4}{7}x^7 - \frac{5}{4}x^4 + 3x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{4}{7}x^7 - \frac{5}{4}x^4 + 3x + C$.