Вопросы, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что называют первообразной для данной функции? Приведите пример.

2. Что такое неопределенный интеграл?

3. Сформулируйте правила нахождения неопределенного интеграла.

4. Напишите по памяти табличные интегралы, выведите эти формулы.

1. Что называют первообразной для данной функции? Приведите пример.

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $\text{x}$ из этого промежутка выполняется равенство:

$F'(x) = f(x)$

То есть, производная первообразной функции $F(x)$ равна исходной функции $f(x)$.

Если $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, то и любая функция вида $F(x) + C$, где $\text{C}$ — произвольная постоянная (константа), также будет первообразной для $f(x)$, так как производная от константы равна нулю: $(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$.

Пример:

Найдем первообразную для функции $f(x) = \cos x$.

Нам нужно найти такую функцию $F(x)$, производная которой равна $\cos x$. Из правил дифференцирования мы знаем, что $(\sin x)' = \cos x$.

Следовательно, одной из первообразных для $f(x) = \cos x$ является функция $F(x) = \sin x$.

Полное множество всех первообразных для данной функции имеет вид $F(x) = \sin x + C$, где $\text{C}$ — любая постоянная.

Например, $F_1(x) = \sin x + 5$ и $F_2(x) = \sin x - 100$ — это все первообразные для $f(x) = \cos x$.

Ответ: Первообразной для функции $f(x)$ называют такую функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Пример: для функции $f(x)=2x$ первообразной является $F(x)=x^2+C$.

2. Что такое неопределенный интеграл?

Неопределенный интеграл от функции $f(x)$ — это совокупность (множество) всех её первообразных. Он обозначается символом $\int f(x) \,dx$.

Если $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x)$ (то есть $F'(x) = f(x)$), то неопределенный интеграл записывается в виде:

$\int f(x) \,dx = F(x) + C$

Здесь:

- $\int$ — знак интеграла.

- $f(x)$ — подынтегральная функция.

- $f(x) \,dx$ — подынтегральное выражение.

- $dx$ — дифференциал переменной интегрирования, указывающий, по какой переменной ведется интегрирование.

- $\text{C}$ — постоянная интегрирования (произвольная константа).

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых, где каждая кривая соответствует определенному значению константы $\text{C}$ и получается из другой кривой параллельным переносом вдоль оси ординат. Нахождение неопределенного интеграла является операцией, обратной дифференцированию.

Ответ: Неопределенный интеграл от функции $f(x)$ — это множество всех ее первообразных, которое записывается как $F(x)+C$, где $F'(x)=f(x)$, а $\text{C}$ — произвольная постоянная.

3. Сформулируйте правила нахождения неопределенного интеграла.

Основные правила нахождения неопределенного интеграла (или свойства неопределенного интеграла) основываются на правилах дифференцирования.

1. Интеграл от суммы/разности функций:

Интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов.

$\int (f(x) \pm g(x)) \,dx = \int f(x) \,dx \pm \int g(x) \,dx$

2. Вынесение постоянного множителя за знак интеграла:

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

$\int k \cdot f(x) \,dx = k \cdot \int f(x) \,dx$, где $\text{k}$ — константа.

Эти два правила вместе называются свойством линейности неопределенного интеграла:

$\int (a \cdot f(x) + b \cdot g(x)) \,dx = a \int f(x) \,dx + b \int g(x) \,dx$

3. Метод замены переменной (интегрирование подстановкой):

Если интеграл $\int f(x) \,dx$ сложно вычислить напрямую, можно сделать замену переменной $x = \phi(t)$, где $\phi(t)$ — непрерывно дифференцируемая функция. Тогда $dx = \phi'(t) \,dt$ и формула принимает вид:

$\int f(x) \,dx = \int f(\phi(t)) \phi'(t) \,dt$

После нахождения интеграла в правой части необходимо выполнить обратную замену, чтобы вернуться к исходной переменной $\text{x}$.

4. Метод интегрирования по частям:

Это правило является аналогом правила дифференцирования произведения двух функций. Формула интегрирования по частям:

$\int u \,dv = uv - \int v \,du$

где $u = u(x)$ и $v = v(x)$ — две непрерывно дифференцируемые функции. Подынтегральное выражение $f(x) \,dx$ разбивается на два множителя: $\text{u}$ и $dv$. Затем находится $du$ (путем дифференцирования $\text{u}$) и $\text{v}$ (путем интегрирования $dv$). Метод эффективен, когда интеграл $\int v \,du$ проще исходного.

Ответ: Основные правила: 1) свойство линейности $\int (a f(x) + b g(x)) dx = a \int f(x) dx + b \int g(x) dx$; 2) замена переменной; 3) интегрирование по частям $\int u dv = uv - \int v du$.

4. Напишите по памяти табличные интегралы, выведите эти формулы.

Табличные интегралы — это основные интегралы, которые получаются из таблицы производных. Вывод каждой формулы заключается в проверке: производная от результата (правой части) должна быть равна подынтегральной функции (левой части).

1. Интеграл от нуля:

$\int 0 \,dx = C$

Вывод: $(C)' = 0$.

2. Интеграл от единицы (или константы):

$\int dx = x + C$

Вывод: $(x+C)' = 1$.

3. Степенная функция:

$\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (при $n \neq -1$)

Вывод: $(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C)' = \frac{1}{n+1} \cdot (x^{n+1})' = \frac{1}{n+1} \cdot (n+1)x^{n+1-1} = x^n$.

4. Интеграл от $1/x$:

$\int \frac{1}{x} \,dx = \ln|x| + C$

Вывод: Для $x>0$: $(\ln x + C)' = \frac{1}{x}$. Для $x<0$: $(\ln(-x)+C)' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$. Объединяя, получаем $(\ln|x|)' = \frac{1}{x}$.

5. Показательная функция:

$\int e^x \,dx = e^x + C$

Вывод: $(e^x+C)' = e^x$.

$\int a^x \,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ (при $a>0, a \neq 1$)

Вывод: $(\frac{a^x}{\ln a} + C)' = \frac{1}{\ln a} \cdot (a^x)' = \frac{1}{\ln a} \cdot a^x \ln a = a^x$.

6. Тригонометрические функции:

$\int \sin x \,dx = -\cos x + C$

Вывод: $(-\cos x + C)' = -(-\sin x) = \sin x$.

$\int \cos x \,dx = \sin x + C$

Вывод: $(\sin x + C)' = \cos x$.

$\int \frac{1}{\cos^2 x} \,dx = \mathrm{tg}\,x + C$

Вывод: $(\mathrm{tg}\,x + C)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

$\int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx = -\mathrm{ctg}\,x + C$

Вывод: $(-\mathrm{ctg}\,x + C)' = -(-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{1}{\sin^2 x}$.

7. Интегралы, приводящие к обратным тригонометрическим функциям:

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \arcsin x + C$

Вывод: $(\arcsin x + C)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

$\int \frac{1}{1+x^2} \,dx = \mathrm{arctg}\,x + C$

Вывод: $(\mathrm{arctg}\,x + C)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Ответ: Основные табличные интегралы: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$; $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|+C$; $\int e^x dx = e^x+C$; $\int \sin x dx = -\cos x+C$; $\int \cos x dx = \sin x+C$. Они выводятся из определения первообразной: производная от результата равна подынтегральной функции.