Работа в группе, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Назовите первообразные для элементарных функций, используя их производные. Например, производная $x^3$ равна $3x^2$, следовательно, первообразная для функции $3x^2$ в общем виде записывается так: $x^3 + C$.

Первообразная для функции $f(x)$ — это такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. В общем виде первообразная записывается как $F(x) + C$, где $\text{C}$ — произвольная постоянная. Ниже приведены первообразные для некоторых элементарных функций, найденные с использованием правил дифференцирования.

Для степенной функции $f(x) = x^n$ (при $n \neq -1$)

Мы знаем, что производная функции $x^{n+1}$ равна $(x^{n+1})' = (n+1)x^n$. Чтобы получить $x^n$ в качестве производной, нужно продифференцировать функцию $\frac{x^{n+1}}{n+1}$. Проверим: $(\frac{x^{n+1}}{n+1})' = \frac{1}{n+1}(x^{n+1})' = \frac{1}{n+1}(n+1)x^n = x^n$. Следовательно, общим видом первообразной для функции $x^n$ является $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Ответ: $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$

Данный случай соответствует степенной функции при $n = -1$. Мы знаем, что производная натурального логарифма по модулю, $(\ln|x|)'$, равна $\frac{1}{x}$. Использование модуля необходимо, чтобы области определения функции $\frac{1}{x}$ ($x \neq 0$) и ее первообразной совпадали. Следовательно, первообразная для $\frac{1}{x}$ есть $\ln|x| + C$.

Ответ: $\ln|x| + C$

Для показательной функции $f(x) = e^x$

Производная экспоненциальной функции $e^x$ равна самой себе: $(e^x)' = e^x$. Это уникальное свойство означает, что первообразная для $e^x$ также является функцией $e^x$, к которой прибавляется произвольная постоянная $\text{C}$.

Ответ: $e^x + C$

Для показательной функции $f(x) = a^x$ (при $a > 0, a \neq 1$)

Мы знаем, что производная функции $a^x$ равна $(a^x)' = a^x \ln(a)$. Чтобы в результате дифференцирования получить $a^x$, необходимо исходную функцию разделить на константу $\ln(a)$. Проверим: $(\frac{a^x}{\ln a})' = \frac{1}{\ln a}(a^x)' = \frac{1}{\ln a}(a^x \ln a) = a^x$. Следовательно, первообразная для $a^x$ имеет вид $\frac{a^x}{\ln a} + C$.

Ответ: $\frac{a^x}{\ln a} + C$

Для тригонометрической функции $f(x) = \cos(x)$

Из правил дифференцирования известно, что производная синуса равна косинусу: $(\sin x)' = \cos x$. Следовательно, функция $\sin x$ является первообразной для функции $\cos x$. Общий вид первообразной будет $\sin x + C$.

Ответ: $\sin x + C$

Для тригонометрической функции $f(x) = \sin(x)$

Мы знаем, что производная косинуса равна минус синусу: $(\cos x)' = -\sin x$. Чтобы в результате производной получить $\sin x$, нужно взять функцию $-\cos x$. Проверим: $(-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$. Таким образом, первообразной для $\sin x$ является функция $-\cos x + C$.

Ответ: $-\cos x + C$

Для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$

Известно, что производная тангенса равна $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$. Это напрямую означает, что тангенс является первообразной для функции $\frac{1}{\cos^2 x}$. Общий вид первообразной: $\tan x + C$.

Ответ: $\tan x + C$

Для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$

Мы знаем, что производная котангенса равна $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$. Чтобы получить $\frac{1}{\sin^2 x}$, нужно взять производную от функции $-\cot x$. Проверим: $(-\cot x)' = -(-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{1}{\sin^2 x}$. Следовательно, первообразная для $\frac{1}{\sin^2 x}$ есть $-\cot x + C$.

Ответ: $-\cot x + C$