Номер 1.2, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.2. Пользуясь формулой

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \neq -1$

найдите интегралы от следующих функций (устное задание):

1) $-4x^{-5}$;

2) $x^{-4}$;

3) $x^{\frac{1}{2}}$;

4) $x^{\frac{1}{3}}$;

5) $24 x^{-25}$;

6) $-\frac{1}{4} x^{-3.5}$.

1) Для нахождения интеграла от функции $-4x^{-5}$ выносим константу $-4$ за знак интеграла и применяем данную формулу для $n=-5$:

$\int -4x^{-5} dx = -4 \int x^{-5} dx = -4 \cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C = -4 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} + C = x^{-4} + C$.

Ответ: $x^{-4} + C$

2) Для нахождения интеграла от функции $x^{-4}$ применяем данную формулу для $n=-4$:

$\int x^{-4} dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3}x^{-3} + C$.

Ответ: $-\frac{1}{3}x^{-3} + C$

3) Для нахождения интеграла от функции $x^{\frac{1}{2}}$ применяем данную формулу для $n=\frac{1}{2}$:

$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$.

Ответ: $\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$

4) Для нахождения интеграла от функции $x^{\frac{1}{3}}$ применяем данную формулу для $n=\frac{1}{3}$:

$\int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C$.

Ответ: $\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C$

5) Для нахождения интеграла от функции $24x^{-25}$ выносим константу $24$ за знак интеграла и применяем данную формулу для $n=-25$:

$\int 24x^{-25} dx = 24 \int x^{-25} dx = 24 \cdot \frac{x^{-25+1}}{-25+1} + C = 24 \cdot \frac{x^{-24}}{-24} + C = -x^{-24} + C$.

Ответ: $-x^{-24} + C$

6) Для нахождения интеграла от функции $-\frac{1}{4}x^{-3.5}$ выносим константу $-\frac{1}{4}$ за знак интеграла и применяем данную формулу для $n=-3.5$:

$\int -\frac{1}{4}x^{-3.5} dx = -\frac{1}{4} \int x^{-3.5} dx = -\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-3.5+1}}{-3.5+1} + C = -\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-2.5}}{-2.5} + C = \frac{1}{4 \cdot 2.5}x^{-2.5} + C = \frac{1}{10}x^{-2.5} + C$.

Ответ: $\frac{1}{10}x^{-2.5} + C$