Номер 0.38, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.38. При каком значении параметра $\text{m}$ функция

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x^2+9}-5}{x^2-5x+4}, & \text{если } x \neq 4 \\ m, & \text{если } x = 4 \end{cases}$

является непрерывной в точке $x = 4$?

Для того чтобы функция $f(x)$ была непрерывной в точке $x = 4$, значение функции в этой точке должно быть равно пределу функции в этой же точке. Согласно условию, $f(4) = m$. Следовательно, должно выполняться равенство:

$m = \lim_{x \to 4} f(x)$

Вычислим предел функции, заданной в условии:

$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x^3 + 9} - 5}{x^2 - 5x + 4}$

При попытке прямой подстановки значения $x = 4$ в выражение, получаем:

В числителе: $\sqrt{4^3 + 9} - 5 = \sqrt{64 + 9} - 5 = \sqrt{73} - 5$.

В знаменателе: $4^2 - 5 \cdot 4 + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$.

Поскольку при $x \to 4$ знаменатель стремится к нулю, а числитель стремится к ненулевой константе $(\sqrt{73} - 5)$, предел не существует (является бесконечным). Это означает, что в точке $x=4$ функция имеет неустранимый разрыв, и невозможно подобрать такое значение $\text{m}$, чтобы сделать функцию непрерывной.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка, и подкоренное выражение в числителе должно быть $x^2 + 9$ вместо $x^3 + 9$. При такой записи в точке $x=4$ возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$, которую можно раскрыть.

Решим задачу при исправленном условии, где $f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 5}{x^2 - 5x + 4}$ при $x \neq 4$.

Найдем предел:

$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 5}{x^2 - 5x + 4}$

Подстановка $x=4$ дает $\frac{\sqrt{4^2+9}-5}{4^2-5 \cdot 4+4} = \frac{\sqrt{25}-5}{16-20+4} = \frac{0}{0}$.

Для раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, т.е. на $(\sqrt{x^2 + 9} + 5)$.

$\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x^2 + 9} - 5)(\sqrt{x^2 + 9} + 5)}{(x^2 - 5x + 4)(\sqrt{x^2 + 9} + 5)}$

Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ в числителе, получаем:

$(\sqrt{x^2 + 9})^2 - 5^2 = (x^2 + 9) - 25 = x^2 - 16$.

Разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$. Знаменатель: $x^2 - 5x + 4 = (x-4)(x-1)$.

Теперь выражение для предела выглядит так:

$\lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)(x-1)(\sqrt{x^2 + 9} + 5)}$

Сокращаем дробь на множитель $(x-4)$, так как при поиске предела $\text{x}$ стремится к 4, но не равно 4:

$\lim_{x \to 4} \frac{x+4}{(x-1)(\sqrt{x^2 + 9} + 5)}$

Теперь можно выполнить подстановку $x=4$ в упрощенное выражение:

$\frac{4+4}{(4-1)(\sqrt{4^2 + 9} + 5)} = \frac{8}{3(\sqrt{16+9} + 5)} = \frac{8}{3(\sqrt{25} + 5)} = \frac{8}{3(5+5)} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$.

Таким образом, предел функции в точке $x=4$ равен $\frac{4}{15}$. Для непрерывности функции в этой точке значение $\text{m}$ должно быть равно этому пределу.

$m = \frac{4}{15}$

Ответ: При условии, что в задаче допущена опечатка и числитель имеет вид $\sqrt{x^2+9}-5$, искомое значение параметра $m = \frac{4}{15}$. В исходной формулировке задача не имеет решения.