Номер 0.32, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.32. Разложите многочлен на множители:

1) $4x^4 + 8x^3 - x^2 - 8x - 3;$

2) $(x^2 + x + 3)(x^2 + x + 4) - 12.$

1) Для разложения многочлена $P(x) = 4x^4 + 8x^3 - x^2 - 8x - 3$ на множители воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни многочлена имеют вид $\frac{p}{q}$, где $\text{p}$ — делитель свободного члена $(-3)$, а $\text{q}$ — делитель старшего коэффициента $(4)$.

Делители $\text{p}$ числа $-3$: $\pm 1, \pm 3$.

Делители $\text{q}$ числа $\text{4}$: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{3}{4}$.

Проверим некоторые из них, подставляя в многочлен:

При $x=1$: $P(1) = 4(1)^4 + 8(1)^3 - (1)^2 - 8(1) - 3 = 4 + 8 - 1 - 8 - 3 = 0$. Следовательно, $x=1$ является корнем, а $(x-1)$ — множителем многочлена.

При $x=-1$: $P(-1) = 4(-1)^4 + 8(-1)^3 - (-1)^2 - 8(-1) - 3 = 4 - 8 - 1 + 8 - 3 = 0$. Следовательно, $x=-1$ является корнем, а $(x+1)$ — множителем многочлена.

Так как $(x-1)$ и $(x+1)$ являются множителями, то их произведение $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$ также является множителем исходного многочлена. Выполним деление многочлена $4x^4 + 8x^3 - x^2 - 8x - 3$ на $x^2 - 1$ (например, столбиком), чтобы найти частное.

$(4x^4 + 8x^3 - x^2 - 8x - 3) : (x^2 - 1) = 4x^2 + 8x + 3$.

Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде:

$4x^4 + 8x^3 - x^2 - 8x - 3 = (x^2 - 1)(4x^2 + 8x + 3)$.

Теперь разложим на множители каждый из полученных сомножителей.

Первый множитель, $x^2 - 1$, является разностью квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Второй множитель, $4x^2 + 8x + 3$, является квадратным трехчленом. Найдем его корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 = 4^2$.

Корни равны:

$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 + 4}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 - 4}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$

Тогда разложение квадратного трехчлена имеет вид:

$4x^2 + 8x + 3 = 4(x - (-\frac{1}{2}))(x - (-\frac{3}{2})) = 4(x + \frac{1}{2})(x + \frac{3}{2})$.

Чтобы избавиться от дробей, внесем множитель 4 в скобки, разбив его на $2 \cdot 2$:

$2(x + \frac{1}{2}) \cdot 2(x + \frac{3}{2}) = (2x + 1)(2x + 3)$.

Собираем все множители вместе:

$(x - 1)(x + 1)(2x + 1)(2x + 3)$.

Ответ: $(x-1)(x+1)(2x+1)(2x+3)$.

2) В данном выражении можно заметить повторяющуюся часть $x^2 + x$. Чтобы упростить выражение, введем замену переменной.

Пусть $t = x^2 + x$.

Тогда исходное выражение $(x^2 + x + 3)(x^2 + x + 4) - 12$ примет вид:

$(t + 3)(t + 4) - 12$.

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$t^2 + 4t + 3t + 12 - 12 = t^2 + 7t$.

Разложим полученный двучлен на множители, вынеся $\text{t}$ за скобки:

$t(t + 7)$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2 + x$ вместо $\text{t}$:

$(x^2 + x)(x^2 + x + 7)$.

Разложим на множители первый сомножитель, вынеся $\text{x}$ за скобки:

$x^2 + x = x(x + 1)$.

Проверим, можно ли разложить на множители второй сомножитель, $x^2 + x + 7$. Это квадратный трехчлен. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у квадратного трехчлена $x^2 + x + 7$ нет действительных корней, и он не может быть разложен на линейные множители с действительными коэффициентами.

Таким образом, окончательное разложение исходного выражения на множители имеет вид:

$x(x + 1)(x^2 + x + 7)$.

Ответ: $x(x+1)(x^2+x+7)$.